8.4. Геометричний зміст похідної. Дотична та нормаль.

Дамо загальне означення дотичної. Розглянемо криву L і на ній точки .

T

М

Пряму , що проходить через ці точки називають січкою. Нехай точка , рухаючись вздовж кривої, наближається до точки М. Тоді січна повертатиметься навколо точки М, а довжина відрізка прямуватиме до нуля.

Якщо при цьому і величина кута Т прямує до нуля, то пряму МТ називають граничним положенням січної , тобто дотичної до кривої в точці М.

З означення випливає, що існування дотичної не залежить, з якого боку точка наближається до точки М.

Якщо січна наближається до різних прямих, або взагалі не наближається ні до якої прямої, то М – точка ізлому і вважається, що в т.М дотичної немає.

_М

Нехай крива задана рівнянням y=f(x) і має в точці М(х,у) не вертикальну дотичну. Розглянемо задачу про знаходження кутового коефіцієнта цієї дотичної.

Y y+Δy Δy y M A y=f(x) α T 0 x x Δx x+Δx

Надамо аргументу х приросту Δх: тоді значенню (х+Δх) відповідатимуть значення функції y+Δy = f(x+Δx) і точка (х+Δх; y+Δx) на кривій.

Проведемо січну і позначимо через φ кут, утворений цією січною з додатним напрямом осі Ох. Кутовий коефіцієнт січної дорівнює

Якщо , то точка прямує до точки М вздовж кривої, а січна , повертаючись навколо точки М, переходить у дотичну МТ. Кут φ при цьому прямує до деякого граничного значення α.

Похідна , знайдена від функції y=f(x) та обчислена у точці , тобто є кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y=f(x) у точці з абсцисою . Це геометричний зміст похідної.

Рівняння дотичної, яка проходить через точки буде:

Нормаллю до кривої називається пряма, що проходить через точку дотичну, перпендикулярно до дотичної.

8.5. Неперервність та диференційованість.

Згідно визначенню

Якщо ця границя існує і скінченна, то кажуть, що функція y=f(x) диференційована у точці . Функцію називають диференційованою в деякому проміжку, якщо вона диференційована, тобто має похідну в кожній точці цього проміжку. У точках розриву функції y=f(x) при і скінченна границя відношення не існує. Отже, неперервність функції – необхідна умова її існування. Але функція, неперервна в точці, не обов’язково має похідну у цій точці.

Приклад.

Визначимо, як поводиться функція в точці . Якщо Δх<0, то

При Δx>0 Δy = f(1+Δx) - f(1) = [2 - (1+Δx)]-1= - Δx;

Отже, відношення при має різні односторонні границі. Таким чином, звичайна границя в точці не існує і в цій точці функція f(x) не має похідної, хоч сама функція неперервна.

Геометрично це означає, що у відповідній точці на графіку функції або не існує однозначно визначеної дотичної, або похідна перпендикулярна до осі ох:

y y y

0 x 0 x 0 x

Функцію f(x) називають гладкою на деякому проміжку, якщо на цьому проміжку вона сама і її похідна неперервні. Графік такої функції називають гладкою кривою. У будь-якій точці гладкої кривої існує дотична, кутовий коефіцієнт якої неперервно змінюється разом із точкою дотику.