2.3 Метод бисекции

График 3. Метод бисекции

Рассмотрим график 3. В нём представлена суть метода: делим заданный отрезок [а, b] пополам, находим c = (a + b) / 2. Получили 2 отрезка [а, с] и [b, с]. Далее надо определить на каком из полученных отрезков находится корень, используя нахождения корня на отрезке. f(a)*f(c) < 0 -> [а, с], иначе -> [с, b]. Далее применяем тот же приём деления отрезка пополам, тому из отрезков, на котором находится корень. Снова проверяем условие нахождения корня на отрезке и продолжаем этот процесс до тех пор, пока полученный отрезок будет настолько мал, что любая точка из этого отрезка нам будет подходить в качестве корня.

Алгоритм нахождения корня:

1) f(a) * f(b) < 0 — имеем корень.

2) c = (a + b) / 2.

3) Если f(a) * f(c) < 0 ,то b = c.

Если f(b) * f(c) < 0 , то а = с.

4) |a - b| < E;

Метод обладает линейной скоростью сходимости. За одну итерацию точность возрастает в 2 раза.

Блок-схема 3. Метод бисекции

2.4 Метод хорд

Метод хорд является более быстрым способом нахождения корня уравнения f(x)=0, лежащего на отрезке [а, b]. Для получения итерационной формулы нахождения приближенных значений корня. Для большей наглядности рассмотрим случай, когда f(a)<0.

1-ый способ: Пусть f(a)<0, f(b)>0. Разделим отрезок [а, b] в отношении f(a)/f(b). Из графика 3 видно, что первое приближение корня x₁=a+h₁. Для нахождения h рассмотрим подобные треугольники ABC и Aax₁

, .

Рассматривая [a;x₁] и [x₁;b] и применяя тот же приём, который рассматривали выше, ищем h₂ и т.д.

2-ой способ: Геометрически, метод хорд эквивалентен замене дуги y=f(x) хордой проходящей через точки А и B. В этом случае уравнение хорды можно записать как .