Пересечение прямой и плоскости общего положения

Данная задача в плане изучения начертательной геометрии (соответственно и компьютерной) является определяющей. Если данная задача не освоена (не решена самостоятельно серия задач при разных заданиях плоскостей и прямой, то дальнейшее изучение начертательной геометрии практически невозможно: теряется логика размышлений и т.д.

Дадим алгоритм определения точки пересечения прямой общего положений с плоскостью общего положения

1. Через данную прямую (рис.) проводим вспомогательную плоскость (плоскость-посредник). 

2. Строим прямую пересечения заданной прямой и вспомогательной плоскости (см. рис.) 

3. Точка пересечения определяется как пересечение заданной прямой и линии пересечения плоскостей (заданной и посредника).  4. Определяем видимость по методу конкурирующих точек

На рис. дана плоскость АВС  общего положения  и прямая l, пересекающая эту плоскость. Задача решена поэтапно, согласно записанного алгоритма.

Запишем алгоритм решения задачи на пересечения прямой с плоскостью еще раз

1 этап. Через прямую l  проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость Q.  l = Q (Q перпендикулярна V, l''=Q'')

2 этап. Определена прямая 1-2 пересечения проецирующей плоскости Q c заданной плоскостью ABC.     3 этап. Определена точка K пересечения  прямой 1-2 с заданной прямой.  K = 1-2, как пересечение с l.

4 этап. Определена видимость прямой относительно плоскости по конкурирующим точкам 1,3 и 4,5. 

Частные случаи пересечения прямой с плоскостью.

Пересечение проецирующей прямой с плоскостью (рис.а) определяется из условия принадлежности точки пересечения заданной плоскости. Пересечение прямой с проецирующей  плоскостью (рис.а) определяется в пересечении вырожденной проекции плоскости и соответствующей проекции прямой.

На рис. б  задана фронтально проецирующая плоскость, пересечение  вырожденной  проекция  которой с проекций прямой l'' на эту же плоскость определяет точку пересечения. Как видим, решение позиционных задач при таком расположении простые. 

15. Задание поверхности на чертеже. Классификация поверхностей. Принадлежность точки поверхности.

Поверхностью называется совокупность всех последовательных положений линий, непрерывно перемещающихся в пространстве.

Следовательно, всякую поверхность можно представить как перемещение линии по другим линиям.

Линия, образующая поверхность, называется образующей.

Линия, по которой перемещается образующая, называется направляющей.

Образующие могут быть постоянными и изменяться.

Классификация поверхностей. Задание поверхности на комплексном чертеже.

Поверхности разделяют:

• По закону образования - на закономерные и незакономерные. Закономерные задаются графически и аналитически, незакономерные - только графически.

• По признаку развёртывания в плоскость - развёртывающиеся и неразвёртывающиеся.

• По форме образующей: - с прямолинейными образующими - линейчатые поверхности; - с криволинейной образующей - кривые поверхности.

• По способу перемещения образующей: - с поступательным движением образующей; - с вращательным движением образующей - поверхности вращения; - с движением образующей по винтовой линии - винтовые поверхности.

 

Поверхности на комплексном чертеже могут быть заданы:

• Проекциями направляющих и способом перемещения по ним образующих.

• Семейством линий, принадлежащих поверхности - каркасный способ задания поверхности.

• Очерком поверхности, т.е. линиями, ограничивающими на комплексном чертеже область существования проекций.

 2. Линейчатые поверхности:

Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями, т.е. при перемещении по ним образующей.

Линейчатые поверхности делятся на развёртывающиеся и неразвёртывающиеся.

К развёртывающимся относятся: цилиндрические поверхности, конические поверхности, поверхности с ребром возврата (торса), призматические поверхности, пирамидальные поверхности.

2.1 Цилиндрическая поверхность.

Цилиндрическая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей l по криволинейной направляющей m, причём образующая l остаётся постоянно параллельной заданной направляющей S.

2.2 Коническая поверхность.

Коническая поверхность получается при движении прямолинейной образующей l по криволинейной направляющей m, причём образующая l постоянно проходит через неподвижную точку S.

2.3 Цилиндроид, коноид, косая плоскость.

Неразвёртывающиеся линейчатые поверхности - это поверхности с плоскостью параллелизма.

Цилиндроид - образуется движением по двум криволинейным направляющим m и n прямолинейной образующей l, остающейся всё время параллельной плоскости параллелизма.

Рассмотрим построение проекций точки и линии последовательно на перечисленных выше поверхностях вращения.

 

Цилиндр

 

Пусть задан прямой цилиндр, плоскости основания которого параллельны плоскости П₁(рис. ).

Решим задачу. Зная фронтальные проекции точекА и В, лежащих на боковой поверхности цилиндра, построить отсутствующие проекции. Поскольку на П₁ боковая поверхность цилиндра проецируется в окружность, то А₁ и В₁ лежат, очевидно, на ней. Их положение находим по вертикальным линиям связи.

Профильные проекции А₃, В₃ лежат, как известно, на горизонтальных линиях связи с фронтальными проекциями А₂ и В₂. При этом, в соответствии с правилами ортогонального проецирования, расстояние от Ф₃ до профильной проекции точки равно расстоянию от Ф₁ до горизонтальной проекции точки. Причем точка В₃ – невидимая, так как лежит на невидимой части боковой поверхности цилиндра.

Решим следующую задачу: по заданной фронтальной проекции А₂В₂ линии (рис. ) построим отсутствующие проекции.

Горизонтальная проекция А₁В₁ совпадает с окружностью, так как все точки линии АВ лежат на боковой поверхности цилиндра.

При построении профильной проекции А₃В₃ следует иметь в виду, что линия АВ пересекает прямую СD, которая на П₃ является контуром С₃D₃цилиндра. Поэтому сначала следует определить положение контурной точки 1₃, а затем соединить точки А₃ и В₃ линией, которая в отличии от А₂1₂В₂не является прямой. В связи с этим для построения необходимо на А₂1₂В₂ выбрать несколько промежуточных точек (2₂, 3₂ и т.д.) и построить их профильные проекции (2₃, 3₃ и т.д.), руководствуясь вышеуказанным правилом взаимосвязи горизонтальной и профильной проекций. Чем большее количество промежуточных точек выбираем, тем более точными будут построения.

Конус

 

Решим те же задачи построения проекций точки и линии, лежащих на поверхности конуса (рис.).

Построим отсутствующие проекции точек А и В, расположенных на поверхности прямого кругового конуса, если известно положение А₂ и В₂.

Для построение горизонтальной проекции точки, например А, необходимо через ее фронтальную проекцию провести горизонтальную линию. Тогда наП₁ эта линия 12 представляет собой дугу окружности диаметром 1₂2₂=1₁2₁. По линии связи на ней находим А₁. Аналогично, проводя дугу окружности радиусом S₁3₁, равным расстоянию от оси конуса до точки 3₂ на его контуре, определяем положение на ней точки В₁. По этим проекциям находим положение А₃, В₃.

По известной проекции А₂В₂ линии на поверхности конуса построить горизонтальную и профильную.

Выбрав на линии А₂В₂ промежуточную точку 4₂, найдем 4₁ так же, как сделали это для точек А и В. Соединив точки А₁, 4₁, В₁, получим горизонтальную проекцию линии АВ.

Для построения профильной проекции А₃В₃ необходимо найти положение контурной точки 4, лежащей на SA. По фронтальной проекции 4₂, лежащей на S₂A₂, находим профильную проекцию 4₃, лежащую на S₃A₃. Теперь точки А₃, 4₃, В₃ можно соединить линией.

При соединении точек линией всегда надо руководствоваться достаточно очевидным правилом: на каждой проекции точки, принадлежащие линии, следует соединять в одинаковой последовательности. Так, если на фронтальной проекции точка 4 является промежуточной, то она будет промежуточной и на других проекциях.

Сфера

 

Проекцией сферы на любую плоскость проекций является окружность.

Рассмотрим построение проекций точек на поверхности сферы (рис. 4.6). Задача состоит в том, чтобы по известным проекциям построить отсутствующие. Для упрощения решения необходимо все характерные точки сферы обозначить. Точки, лежащие на экваторе, обозначим через А, В, С, D; точки, лежащие на главном меридиане – А, Е, С, F. Очевидно, что точки А и С принадлежат одновременно и экватору, и главному меридиану.

При построении проекций следует иметь ввиду, что любая параллель на П₂ проецируется в горизонтальную прямую, а на П₁ в окружность.

Пусть задана фронтальная проекция точки М. Проведем через нее параллель. Тогда на П₂ получим горизонтальную прямую, проходящую через точкуМ₂. А на П₁ – дугу окрудности радиусом F₁1₁, равным расстоянию от вертикальной оси до токи 1₂. Ясно, что точка М₁ лежит на этой окружности. По двум проекциям М₁ и М₂, используя правило взаимосвязи проекций, построим М₃.

Рассмотрим другую точку N, проекция которой N₂ на П₂ является невидимой. Аналогично предыдущему построим N₁, лежащую на дуге окружности радиусом F₁2₁. Так как N₂ - невидимая, то N₁ лежит выше оси Ф₁. А поскольку точка N находится на поверхности нижнего полушария, что видно из положения N₂, то N₁ - невидимая. Профильная проекция N₃ строится по известному правилу взаимосвязи проекций. При этом, так как N₁ лежит выше оси Ф₁, то N₃ - левее Ф₃. Поскольку точка N лежит в правом полушарии, то на П₃ она невидимая, так как на П₃ все правое полушарие закрыто от нас левым и является невидимым.

Видимость и невидимость полушарий, а следовательно, и точек, лежащих на них, можно легко определить, рассматривая с разных точек зрения обыкновенный резиновый мячик, нарисовав на нем экватор и два меридиана, расположенных в плоскостях, перпендикулярных друг другу.

Построим горизонтальную и профильную проекции линии МN, если известна ее фронтальная проекция М₂N₂, состоящую из прямолинейных отрезковМ₂3₂ и 3₂N₂.

Очевидно, что точка 3₁ лежит на А₁Е₁, так как 3₂ - на А₂Е₂. При этом прямая МN проходит через экватор (точка 4₂). Следовательно, на П₁ – через точку 4₁. А участок 4₁3₁ – невидимый, поскольку, как видно по его фронтальной проекции 4₂3₂, он лежит в нижнем полушарии, т.е. ниже экватора.

Для построения проекций участка 3N выберем промежуточную точку 5₂. Тогда точка 5₁ лежит на дуге окружности радиуса 5₂6₂. Соединив точки 3₁, 5₁, N₁, получим искомую линию М₁4₁3₁5₁N₁.

Построим профильную проекцию М₃N₃, которая проходит через те же промежуточные точки. Так как М₂3₂ – вертикальная прямая, то на П₃ она представляет собой дугу М₃3₃ окружности радиуса 4₂3₂=А₃3₃. Точка 5₃ – контурная для профильной проекции сферы. Значит, остается соединить точки 3₃, 5₃, N₃ кривой линией. При этом участок 5₃N₃ – невидимый.

Если в нашу задачу входит более точное построение проекций линии MN, тогда на всех участках, где ее проекции не являются отрезками прямой или окружности, необходимо выбрать несколько промежуточных точек.