9.4. Метод Рунге – Кута другого порядку

Метод Рунге – Кута є одним із методів підвищеної точності. Він має багато спільного з методом Ейлера.

Для зменшення похибки методу інтегрування диференціального рівняння, що застосовує розклад шуканого рішення в ряд Тейлора (9.9), необхідно враховувати більшу кількість членів ряду. Але при цьому виникає необхідність апроксимації похідних від правих частин диференціальних рівнянь. Основна ідея методів Рунне – Кута полягає в тому, що похідні апроксимуються через значення функції в точках на інтервалі , які вибираються за умови найбільшої близькості до ряду Тейлора. В залежності від старшого степеня h, з яким враховуються члени ряду, побудовані обчислювальні схеми Рунне – Кута різних порядків точності.

Так, для другого порядку точності отримано одно параметричну сім’ю схем вигляду

(9.11)

де – вільний параметр;

Локальна похибка схем (9.11) має третій порядок, глобальна – другий порядок; тобто рішення диференціального рівняння отримане за цією схемою, рівномірно збігається з похибкою .

Для параметра L найбільш часто застосовують значення L = 0,5 і L = 1. У першому випадку формула (9.11) набуває вигляду

г еометрична інтерпретація якої подана на рис. 9.3. Спочатку розраховується наближене розв’язання диференціального рівняння в точці х₀ + h по формулі Ейлера . Потім визначається нахил інтегральної кривої в знайденій точці і після знаходження середнього нахилу на кроці h визначають уточнене значення Схеми подобного типу називають "прогноз-корекція", що має на увазі грубе обчислення по формулі низького порядку, а потім уточнення з урахуванням отриманої інформації про поведінку інтегральної кривої.

У другому випадку при L = 1 від формули (9.11) переходимо до схеми

геометричний якої відображає рис. 9.4. Тут при прогнозі методом Ейлера визначається рішення в точці

а після розрахунку нахилу дотичної до інтегральної кривої в середній точці розв’язання диференціального рівняння коригується за цим нахилом.

9.4. Метод Рунге – Кута четвертого порядку

Для побудови обчислювальної схеми методу Рунге – Кута четвертого порядку в тейлорівському розкладі шуканого рішення треба враховувати члени, що містять степені кроку h до четвертої включно. Похідні визначаються послідовним диференціюванням з рівняння (9.1). Після апроксимації похідних правої частини диференціального рівняння (9.1) отримують сім’ю схем Рунге – Кута четвертого порядку, з яких на практиці найчастіше застосовують наступну схему:

(9.12)

де

Схема (9.12) на кожному кроці h вимагає виконувати розрахунки правої частини диференціального рівняння в чотирьох точках. Локальна похибка схеми має п’ятий порядок, глобальна – четвертий порядок. Звідси, зокрема, випливає, що при достатньо малому кроці h і малих похибках обчислень рішення рівняння (9.1), отримане методом Рунге – Кута четвертого порядку, буде близьким до точного.

Зазначимо, що приріст функції на кожному і-му кроці визначається за виразом

,

що дозволяє розрахувати значення функції на (і+1)-му кроці

Числа мають простий геометричний сенс. Нехай крива М₀СМ₁ (рис. 9.5). Точка С цієї кривої лежить на прямій, паралельній осі Оу і ділить відрізок навпіл, B i G – точки перетину дотичної, проведеної до кривої в точці М₀, з ординатами АС і N₁M₁. Тоді число k₁ з точністю до множника h (де ) є кутовим коефіцієнтом дотичної в точці М₀ до інтегральної кривої М₀СМ₁, тобто

Точка В має координати Отже, число k₂ з точністю до множника h є кутовим коефіцієнтом дотичної, проведеної до інтегральної кривої в точці В (BF – відрізок цієї дотичної).

Через точку М₀ проводимо пряму, паралельну відрізку BF. Точка D має координати і k₃ з точністю до множника h є кутовим коефіцієнтом дотичної, проведеної до інтегральної кривої в точці D (DR₁ – відрізок цієї дотичної). Нарешті, через точку М₀ проводимо пряму, паралельну DR₁, яка перетинає продовження N₁M₁ в точці R₂ ( ).Тоді число k₄ з точністю до множника h є кутовим коефіцієнтом дотичної в точці R₂ до інтегральної кривої.

9

ЛЕКЦІЯ № 9 (алгоритми та методи обчислень)