10.3. Розрахунок поля температур в однорідній штабі за явною схемою

В якості ілюстрації числових методів розв’язання диференціальних рівнянь розглянемо числове розв’язання диференціального рівняння параболічного типу, пов’язаного з поширенням тепла в однорідній штабі.

Процес теплопровідності виникає, якщо тіло є неоднорідно нагрітим. Найпростіша для вивчення теплопровідності система – лінійна однорідна штаба. У простій моделі бічні поверхні штаби вважаються теплоізольованими, тобто через них немає обміну теплом між штабою і навколишнім середовищем.

Отже, визначимо розподіл температури в металевій штабі для будь-якого значення часу за умови, що фізичні властивості матеріалу штаби є величинами сталими.

У виразі під розуміється температура, під х – поздовжня координата, а під – час.

Розподіл температури в металевій штабі може бути описаним наступним диференціальним рівнянням з початковими та граничними умовами:

(10.3)

(10.4)

де А – стала величина, яка залежить від теплопровідних властивостей матеріалу, з якого виготовлено штабу, а також від деяких інших чинників.

Початкова умова задає розподіл температури в штабі в початковий момент часу (його вважають рівним нулю). Граничні умови (у нашому випадку їх має бути дві) у цьому простішому варіанті вказують на те, яка температура підтримується на кінцях штаби.

Зазначимо, що супроводження рівняння теплопровідності початковими і граничними умовами, робить постановку задачі фізично однозначною. Нагадаємо, що якщо для диференціального рівняння задані початкові умови (умови в початковий момент часу), то така задача називається задачею Коші, якщо ж задані граничні умови (на границях досліджуваної області), то така задача називається крайовою задачею, якщо задані і початкові, і граничні умови, то маємо змішану крайову задачу.

Поставлену задачу краще розв’язувати в безрозмірних одиницях. На рис. 10.2 показано металеву штабу одиничної довжини.

Для числового розв’язання поставленої задачі апроксимуємо диференціальне рівняння (10.3) разом з початковими і граничними умовами (10.4) скінченними різницями.

М оделювання процесу теплопровідності пов'язано з дискретизацією як зміни температури за часом, так і вздовж штаби.

Для цього побудуємо сітку в області, обмеженій і (рис. 10.3), з кроком і , де M і N – деякі цілі числа. Під функцією розуміють апроксимацію рівняння (10.3) скінченними різницями.

Д ля будь-якого вузла сітки (i, j), для якого лічильник і не дорівнює 0 та M, а лічильник j не дорівнює 0, похідні диференціального рівняння (10.3) можна замінити скінченними різницями наступним чином:

Тоді рівняння (10.3) наближено замінюється виразом:

Звідки отримують

(10.5)

Нас буде цікавити температура в точці , тому розв'яжемо рівняння (10.5) відносно температури в точці

(10.6)

де

Таким чином, із диференціального рівняння (10.3) отримано зв'язок між температурою наступного (j + 1) і поточного шарів (j).

Н а рис. 10.4 хрестиками і маленькими колами позначені ті вузли сітки, які задіяні при визначенні похідних у рівнянні (10.6).

Якщо для будь-якого рівня часу відомі значення температури , то з рівняння (10.6) можна безпосередньо визначити значення температури при , тобто в шарі (j + 1). Подібна схема розрахунку має назву явної.

Слід відмітити, що сукупність вузлів у фіксований момент часу називається шаром.

Але виникають питання. Де взяти значення температури в нульовому шарі, тобто при ? Зазначимо, що для визначення температури в нульовому шарі застосовуються початкові умови, які записуються у вигляді:

(10.7)

Подібні ж питання постають для граничних точок, що мають значення лічильника і, які дорівнюють 0 і М. Виходячи з граничних умов, можна зробити висновки, що

(6.6)

Застосувавши початкові умови у вигляді (6.5) і граничні умови у вигляді (6.6), можна за рівнянням (6.4) розрахувати значення температури у шарі (j = 1) і продовжити розрахунки до шару з номером N, тобто поступово збільшуючи час прогріву штаби.

Розглянемо процес зміни температури у штабі з паралельними сторонами за умови, що відомий коефіцієнт α її теплопровідності та в початковий момент часу температура рівномірно розподілена вздовж штаби. Дві взаємно протилежні сторони знаходяться при постійній температурі . Необхідно знайти розподіл температури залежно від часу та координати розташування пробної точки.

Рівняння теплопровідності матиме наступний вигляд:

. (6.7)

Уведемо для розгляду безрозмірні величини

Тоді рівняння (6.7) може бути переписаним і поданим у наступному вигляді:

яке будемо розв’язувати за наявності таких умов:

За цих обставин початкові і граничні умови приймуть доволі просту форму:

Слід зазначити, що модифікацією функціональних залежностей для початкових і граничних умов можна розрахувати відповідне поле температур.

Р езультати розрахунків поля температур у безрозмірному вигляді показані на рис. 6.4. На цьому рисунку маленькі кола відповідають розрахунковим точкам. Криві побудовані в інтервалі безрозмірного часу від 0,05 до 0,35 з кроком 0,05. Із наведених даних випливає, що зі збільшенням часу температура зростає, наближаючись до одиниці.