Точки перегиба и участки выпуклости графика функции
График
дифференцируемой на
функции
называется выпуклым
вверх
в интервале
,
если он расположен ниже касательной,
проведенной в любой точке
этого интервала (см. рис. 3).
График дифференцируемой на функции называется выпуклым вниз в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (cм. рис. 4).
Теорема.
(Достаточное условие выпуклости
(вогнутости) графика функции) Если
в интервале
,
то график функции
является выпуклым вверх в этом интервале;
если же
,
то в интервале
график функции
– выпуклый вниз.
Пусть
функция
дифференцируема в интервале
и
.
Точку
графика функции
называют точкой
перегиба
этого графика, если существует такая
–
окрестность точки
оси
,
в границах которой график функции
слева и справа от точки
имеет разные направления выпуклости
(cм.
рис. 5).
Рис.
5
Теорема. (Необходимое условие перегиба функции). Если – точка перегиба функции , то вторая производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Теорема.
(Достаточное условие перегиба функции).
Если
функция
непрерывна в
–
окрестности точки
,
имеет в точке
конечную или бесконечную определенного
знака производную
,
а функция
определена в
–
окрестности точки
,
кроме, быть может самой точки
,
и меняет знак при переходе через эту
точку, то
– точка перегиба функции
.
Пример
1.
Найти интервалы выпуклости (вогнутости)
и точки перегиба функции
.
Решение.
Область
определения
данной функции есть множество всех
действительных чисел
,
то есть
.
Находим:
;
.
Используя необходимое условие перегиба, находим:
,
откуда
,
не
существует, если
,
откуда
.
Используем достаточные условия перегиба:
Отметим
точки
на области
и определим знаки
слева и справа от каждой точки.
Так
как
и при переходе через эту точку
меняет знак, то
– точка перегиба данной функции.
Аналогично, точки
тоже являются точками перегиба графика
функции.
График
функции выпуклый вниз на интервалах
.
График
функции выпуклый вверх на интервалах
.
Пример
2.
Найти интервалы выпуклости (вогнутости)
и точки перегиба функции
.
Решение. Найдем область определения данной функции:
.
Находим:
;
,
откуда
,
не
существует, если
.
Используем достаточные условия перегиба:
Отметим
точки
на области
и определим знаки
слева и справа от каждой точки.
Точка является точкой перегиба графика функции.
График
функции выпуклый вниз на интервале
.
График
функции выпуклый вверх на интервале
.
3) Асимптоты графика функции
Прямую
называют асимптотой
графика функции
,
если расстояние
от
точки
кривой
до прямой
стремится к нулю при неограниченном
удалении этой точки по кривой от начала
координат (см. рис. 6).
Рис. 6
Различают вертикальные и наклонные асимптоты.
Прямая
является вертикальной
асимптотой
кривой
,
если хотя бы один из односторонних
пределов функции
в точке
равен бесконечности, то есть
или
.
Как правило, точки
находятся среди точек разрыва второго
рода.
Прямая
является наклонной
асимптотой
кривой
,
если одновременно существуют конечные
пределы:
и
.
Если же хотя бы один из вышеприведенных пределов не существует или равен бесконечности, то наклонных асимптот график функции не имеет.
В
случае, когда
,
наклонная
асимптота
становится горизонтальной
асимптотой кривой
.
Пример
1.
Найти асимптоты кривой
.
Решение.
Данная функция определена в интервалах
и
.
Рассмотрим
граничную точку области определения
.
Поскольку
,
то прямая
есть вертикальная асимптота данной
кривой.
Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой :
.
Следовательно,
существует наклонная асимптота
.
Таким образом, кривая
имеет одну вертикальную асимптоту
и одну наклонную
(см. рис. 7).
Рис. 7
Пример
2.
Найти асимптоты кривой
.
Решение. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, вертикальных асимптот эта кривая не имеет.
Найдем наклонные асимптоты этой кривой:
,
,
следовательно,
наклонная асимптота кривой
при
.
,
,
следовательно,
наклонная асимптота кривой
при
.
Таким
образом, график функции
имеет только две наклонные асимптоты
при
и
при
(см. рис. 8).
Рис. 8