Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть
функция
дифференцируема в некоторой области
.
Рассмотрим поверхность
в трехмерном пространстве, графиком
которой является данная функция. Выберем
точку
и точку
,
принадлежащую этой поверхности. Плоскости
и
пересекают поверхность
по плоским линиям, проходящим через
точку
.
К этим плоским линиям через точку
можно провести касательные, которые
определяют плоскость. Полученная
плоскость называется касательной
плоскостью к поверхности
.
Прямая перпендикулярная к касательной
плоскости и точке касания, называется
нормалью
к поверхности в этой точке.
Уравнения касательной плоскости и нормали находятся соответственно по формулам
и
.
Если
поверхность
задана неявным уравнением
,
то касательная плоскость и нормаль к
поверхности определяются уравнениями
и
.
Разбор задач контрольной работы № 2
Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение.
а)
.
Для вычисления данного интеграла
выполним замену переменных
и
.
Тогда
.
б)
.
Для вычисления данного интеграла
используем формулу интегрирования по
частям
.
Пусть функция
и дифференциал
.
Найдем
.
Тогда
.
в)
.
Разложим подынтегральную рациональную
дробь в сумму простейших дробей с
неизвестными коэффициентами
.
Для того чтобы найти коэффициенты
разложения выполним следующие
преобразования дробей:
Сравнивая
полученную дробь с исходной, составим
и решим систему уравнений
.
Тогда
,
г)
.
Для вычисления этого интеграла используем
универсальную тригонометрическую
подстановку
.
При этом
.
Тогда
.
Задача 2. Вычислить определенный интеграл.
а)
;
б)
.
Решение.
а)
.
Пусть
,
тогда
,
и
.
Вычислим интеграл
.
б)
.
Для вычисления данного интеграла
необходимо воспользоваться формулой
интегрирования по частям. Для этого
примем
,
откуда
.
Тогда
.
Задача 3. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями
,
при
.
Решение.
Построим графики функций и (см. Рис. 1).
Рис. 1
Найдем
точки пересечения полученных линий.
Для этого решим уравнение
.
Нетрудно видеть, что корни этого уравнения
.
Вычислим
теперь площадь фигуры, расположенной
в первой четверти
.
Задача 4.
Вычислить несобственный интеграл или
доказать его расходимость а)
Решение.
а)
.
Данный интеграл является несобственным
интегралом первого рода, значит
.
Задача 5. Вычислить
частные производные и полный дифференциал
функции
.
Написать уравнение касательной плоскости
и нормали к поверхности
в точке с координатами
.
Решение.
Вычислим частные производные заданной функции
,
.
Полный
дифференциал:
.
Уравнения касательной плоскости и нормали находятся соответственно по формулам
и .
Напишем
уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности в точке
.
Так как
,
то уравнение касательной плоскости
имеет вид
или
,
а уравнение нормали
.