Б1. 40. Нормированное пространство
Определение.
Линейное пространство L называется нормированным,
если любому его элементу x поставлено
в соответствие число, называемое нормой
и обозначаемое 
,
причем при этом выполнены следующие
условия:
Всякое
нормированное пространство становится
метрическим, если ввести в нем расстояние 
.
Справедливость аксиом метрического
пространства вытекает из свойств 1) –
3) нормы. На нормированные пространства
переносятся, таким образом, все понятия
и факты, которые были изложены для
метрических пространств.
Примеры.
6.3.1.
Множество вещественных чисел становится
нормированным пространством, если
положить
.
6.3.2 
Заметим, что в этом же пространстве можно ввести норму и по-другому, например, так
или 
.
(Аксиомы нормы 1)-3) выполняются).
6.3.3.
В пространстве 
непрерывных
функций на отрезке 
определим
норму формулой
.
Соответствующее расстояние уже рассматривалось в разделе 6.1. "Метрическое пространство" в примере 6.1.3.
.
Определение. Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.