40 Определение стационарного эргодического случайного процесса.

Различают нестационарные, стационарные и эргодические случайные процессы. Наиболее общий случайный процесс – нестационарный.

Случайный процесс является стационарным, если его многомерная плотность вероятности зависит только от величины интервалов и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента . Отсюда следует, что во-первых, для стационарного процесса одномерная плотность вероятности не зависит от времени, т.е. ; во-вторых, двумерная плотность вероятности зависит от разности , т.е. и т.д. В связи с этим все моменты одномерного распределения, в том числе математическое ожидание и дисперсия, постоянны. Часто бывает достаточно для определения случайного процесса стационарным постоянство первых двух моментов. Таким образом для стационарного процесса:

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной бесконечно длинной реализации; в этом случае

и т.д.

Если представляет собой случайный ток или напряжение в электрической цепи, то - это постоянная составляющая, а - средняя мощность флуктуации.

41 Характеристики случайных процессов.

Наибольшее значение имеют следующие характеристики случайного процесса:

 математическое ожидание

Математическое ожидание – это средняя функция, вокруг которой группируются реализации (см.рис.2).

Рис. 2

Многие параметры случайного процесса получают путем вычисления простейших функций от математического ожидания.

 дисперсия (разброс реализаций случайной величины)

Корень квадратный от дисперсии называют средне-квадратичным отклонением (СКО):

Если сечения случайного процесса описываются одним и тем же законом распределения, то математическое ожидание и дисперсия являются числами (параметрами).

Если , то говорят, что такой процесс имеет нулевое среднее; процесс называется центрированным. Математическое ожидание называют первым моментом случайной величины, дисперсию – вторым моментом. Момент n-ого порядка определяется соотношением

Если для случайного процесса заданы двумерные плотности вероятности, что бывает необходимо при анализе быстроменяющихся процессов, то определяют так называемую ковариационную функцию

которая определяет математическое ожидание произведений случайных функций в моменты и .

При имеем

т.е. при нулевом интервале между и ковариационная функция определяет математическое ожидание от квадрата случайной величины. Разность между случайной величиной и её математическим ожиданием определяет флуктуации (изменения) сигнала.

42 Автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности случайного процесса.

Для описания флуктуаций определяется автокорреляционная функция процесса

При получаем

т.е. автокорреляционная функция в этом случае равна дисперсии. Часто применяют нормированную корреляционную функцию

где .

Все эти функции: , , - характеризуют связь между значениями случайного процесса, разделенными промежутком времени . Чем медленнее меняется случайная функция, тем больше , в пределах которого эти функции не равны нулю, т.е. наблюдается статистическая связь между ними.

Спектральная плотность мощности на выходе определяется аналогично тому, как это делалось при определении спектра выходного детерминированного сигнала.

Если входной сигнал обладает спектром мощности W_вх( ), то на выходе сигнал будет иметь спектральную плотность мощности

W_вых ( )=W_вх( ) H²( ).

Корреляционную функцию определим как обратное преобразование Фурье

Аналогичные записи можно провести на основе знания импульсной характеристики цепи. Поскольку спектральной функции W_вх() соответствует корреляционная функция

а спектральной функции H²( ) соответствует

                    

то произведению W_вх() H²() соответствует свертка

                    

и

В случае белого шума на входе с W_вх( )=W₀ имеем W_вых( )=  W₀H², а

                    

Это же выражение можно применить и для случая, когда спектральная плотность мощности случайного стационарного процесса на входе цепи равномерна лишь в полосе прозрачности цепи.