2.5. Точність вимірювання.

Точність вимірювання - це ступінь наближення результату вимірювання до дійсного значення вимірюваної величини. Похибкою вимірювання називається різниця між отриманим при вимірюванні значенням і дійсним значенням вимірюваної величини. Терміни «точність вимірювання» і «похибка вимірювання» мають протилежний зміст і рівною мірою використовуються для характеристики результату вимірювання.

Ніяке вимір не може бути виконане абсолютно точно, і результат вимірювання неминуче містить похибка, значення якої тим менше, чим точніше метод вимірювання і вимірювальний прилад.

З причин виникнення похибка поділяють на методичну, інструментальну і суб'єктивну.

Методична похибка обумовлена недосконалістю застосовуваного методу вимірювань і неадекватністю використовуваного математичного апарату. Наприклад, маска для забору повітря, що видихається утруднює дихання, що знижує вимірювану працездатність; математична операція лінійного згладжування по трьох точках залежності прискорення ланки тіла спортсмена від часу може не відображати особливості кінематики руху в характерні моменти.

Інструментальна похибка викликається недосконалістю засобів вимірювання (вимірювальної апаратури), недотриманням правил експлуатації вимірювальних приладів. Вона зазвичай наводиться в технічній документації на засоби вимірювань.

Суб'єктивна похибка виникає внаслідок неуважності або недостатньої підготовленості оператора. Ця похибка практично відсутня при використанні автоматичних засобів вимірювань.

За характером зміни результатів при повторних вимірах похибка поділяють на систематичну і випадкову.

Систематичною називається похибка, значення якої не змінюється від вимірювання до вимірювання. Внаслідок цього вона часто може бути заздалегідь передбачена і усунена. Систематичні похибки бувають відомого походження і відомого значення (наприклад, запізнювання світлового сигналу при вимірюванні часу реакції через інертність електричної лампочки); відомого походження, але невідомого значення (прилад постійно завищує або занижує вимірюване значення на різну величину); невідомого походження і невідомого значення. Для виключення систематичної похибки вводяться відповідні поправки, що усувають самі джерела похибок: правильно розташовується вимірювальна апаратура, дотримуються умови її експлуатації і т. д. Застосовується тарирування (нім. tariren - градуювати) - перевірка показань приладу шляхом порівняння з еталонами (зразковими мірами або зразковими вимірювальними приладами).

Випадковою називається похибка, що виникає під дією різноманітних факторів, які не можна заздалегідь передбачити і врахувати. Внаслідок того, що на організм спортсмена і на спортивний результат впливають безліч факторів, практично всі вимірювання в галузі фізичної культури і спорту мають випадкові похибки. Вони принципово непереборні, однак, за допомогою методів математичної статистики можна оцінити їх значення, визначити необхідне число вимірювань для отримання результату із заданою точністю, правильно інтерпретувати результати вимірювань. Основним способом зменшення випадкових похибок є проведення ряду повторних вимірювань.

В окрему групу виділяють так звану грубу похибку, або промахи. Це - похибка вимірювання, істотно перевищує очікувану. Промахи виникають, наприклад, через неправильне відліку по шкалі приладу або помилки в запису результату, раптового стрибка напруги в мережі і т. п. Промахи легко виявляються, оскільки різко випадають із загального ряду отриманих чисел. Існують статистичні методи їх виявлення. Промахи повинні бути відкинуті.

За формою подання похибка поділяють на абсолютну і відносну.

Абсолютна похибка (або просто похибка) ΔX дорівнює різниці між результатом вимірювання X та істинним значенням вимірюваної величини X₀:

ΔX = X - X₀ (2.1)

Абсолютна похибка вимірюється в тих же одиницях, що і сама вимірювана величина. Абсолютна похибка лінійок, магазинів опорів та інших заходів в більшості випадків відповідає ціні поділу. Наприклад, для міліметрової лінійки ΔX = 1 мм.

Так як істинне значення вимірюваної величини зазвичай встановити не представляється можливим, в його якості приймають значення даної величини, отримане більш точним способом. Наприклад, визначення частоти кроків при бігу на основі підрахунку кількості кроків за проміжок часу, виміряний за допомогою ручного секундоміра, дало результат 3,4 крок / с. Цей же показник, виміряний за допомогою радіотелеметричної системи, що включає в себе контактні датчики-перемикачі, виявився 3,3 крок / с. Отже, абсолютна похибка вимірювання за допомогою ручного секундоміра становить 3,4 - 3,3 = 0,1 крок / с.

Похибка засобів вимірювання повинна бути істотно нижче самої вимірюваної величини і діапазону її змін. В іншому випадку результати вимірювань не несуть ніякої об'єктивної інформації про досліджуваному об'єкті і не можуть бути використані при будь-якому виді контролю в спорті. Наприклад, вимірювання максимальної сили згиначів кисті динамометром з абсолютною похибкою 3 кг з урахуванням того, що значення сили знаходиться зазвичай в межах 30 - 50 кг, не дозволяє використовувати результати вимірювань при поточному контролі.

Відносна похибка ε представляє процентне відношення абсолютної похибки ΔX до значення вимірюваної величини X (знак ΔX не враховується):

(2.2)

Відносна похибка вимірювальних приладів характеризується класом точності K. Клас точності - це відсоткове співвідношення абсолютної похибки приладу ΔX до максимального значення вимірюваної ним величини X_max:

(2.3)

Наприклад, за ступенем точності електромеханічні прилади діляться на 8 класів точності від 0,05 до 4.У випадку, коли похибки вимірювань носять випадковий характер, а самі вимірювання прямі і проводяться багаторазово, то їх результат наводиться у вигляді довірчого інтервалу при заданій довірчій ймовірності. При невеликій кількості вимірювань n (обсяг вибірки n ≤ 30) довірчий інтервал:

(2.4)

при великій кількості вимірів (обсяг вибірки n ≥ 30) довірчий інтервал:

(2.5)

де - вибіркове середнє арифметичне (середнє арифметичне з виміряних значень); S - вибіркове стандартне відхилення; tα - граничне значення t-критерію Стьюдента (знаходиться по таблиці t-розподілу Стьюдента залежно від числа ступенів свободи ν = n-1 і рівня значущості α; рівень значимості звичайно приймається α = 0,05, що відповідає достатньою для більшості спортивних досліджень довірчої ймовірності 1 - α = 0,95, тобто 95% -й довірчої ймовірності); uα - процентні точки нормованого нормального розподілу (для α = 0,05 uα = u0,05 = 1,96). У галузі фізичної культури і спорту разом з виразами (4) і (5) результат вимірювань прийнято приводити (із зазначенням n) у вигляді:

(2.6)

де - стандартна помилка середнього арифметичного . Значення і в виразах (4) і (5), а також у виразі (6) являють собою абсолютну величину різниці між вибірковим середнім і істинним значенням вимірюваної величини і, таким чином, характеризують точність (погрішність) вимірювання.

Вибіркові середнє арифметичне і стандартне відхилення, а також інші числові характеристики можуть бути розраховані на комп'ютері з використанням статистичних пакетів, наприклад, STATGRAPHICS Plus for Windows (робота з пакетом детально вивчається в курсі комп'ютерної обробки даних експериментальних досліджень - див. Посібник А.Г. Катранова і А.В. Самсонової, 2004).

Слід зазначити, що вимірювані в спортивній практиці величини не тільки визначаються з тією чи іншою похибкою вимірювання (помилкою), але і самі, як правило, варіюють в деяких межах в силу своєї випадкової природи. У більшості випадків помилки виміру істотно менше значення природного варіювання визначається величини, і загальний результат вимірювання, як і у випадку випадкової похибки, наводиться у формі виразів (4 - 6).

Як приклад можна розглянути вимір результатів у бігу на 100 м групи школярів в кількості 50 чоловік. Виміри проводилися ручним секундоміром з точністю до десятих часток секунди, тобто з абсолютною похибкою 0,1 с. Результати варіювали від 12,8 с до 17,6 с. Видно, що похибка вимірювання істотно менше результатів в бігу і їх варіювання. Обчислені вибіркові характеристики склали: = 15,4 с; S = 0,94 с. Підставляючи дані значення, а також uα = 1,96 (при 95%-й довірчої ймовірності) і n = 50 у вираз (5) і враховуючи, що немає сенсу обчислювати межі довірчого інтервалу з більшою точністю, ніж точність вимірювання часу бігу ручним секундоміром (0,1 с), остаточний результат записується у вигляді:

(15,4 ± 0,3) с, α = 0,05.

Часто при проведенні спортивних вимірів виникає питання: яка кількість вимірювань треба виробити, щоб отримати результат з заданою точністю? Наприклад, скільки необхідно виконати стрибків у довжину з місця при оцінці швидкісно-силових здібностей, щоб з 95% -й вірогідністю визначити середній результат, що відрізняється від істинного значення не більше, ніж на 1 см? Якщо вимірювана величина є випадковою і підпорядковується нормальному закону розподілу, то кількість вимірювань (обсяг вибірки) знаходиться за формулою:

(2.7)

де d - відміну вибіркового середнього результату від його істинного значення, тобто точність вимірювання, яка задається заздалегідь.

У формулі (7) вибіркове стандартне відхилення S розраховується на основі певної кількості попередньо проведених вимірювань.