Задача № 3 расчет сложной цепи постоянного тока методом контурных токов

Для электрической цепи постоянного тока (рис. 2.1), используя данные, приведенные в табл. 2.1, определить токи … в ветвях резисторов … методом контурных токов, режимы работы источников питания, составить баланс мощностей. Эдс и напряжения источников, сопротивления резисторов и положение выключателей для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 2.1. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

 

Ход решения задачи

 

Метод контурных токов выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путем исключения уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа.

Указанная процедура достигается за счет введения обобщенных переменных, так называемых контурных токов, относительно которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Полученные уравнения решаются относительно контурных токов. Затем токи в ветвях выражаются через найденные контурные токи.

Порядок расчета рассмотрим на примере схемы (рис. 3.1).

Определим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа:

 

m – (n – 1) = 6 – (4 – 1) = 3,

 

где n – число узлов; m – число ветвей.

Число уравнений равно числу неизвест­ных контурных токов. В нашем случае – три уравнения. Обозначим контурные токи , и .

Выбираем направление контурных токов, совпадающих с направлением вращения часовой стрелки. Номера контуров совпадают с индексами контурных токов. Отметим, что во второй, четвертой и пятой ветвях текут по два контурных тока.

Рис. 3.1. Расчетная схема сложной электрической цепи

 

Составляем систему из трех уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. При этом учтем падение напряжения на резисторных элементах от каждого контурного тока, текущего по нему.

Направление обхода контуров выберем совпадающим с направлением соответствующего контурного тока. Первое уравнение соответствует первому контуру, второе – второму и т. д.

В результате система имеет вид

 

 

После решения этой системы уравнений действительные токи ветвей определяются по найденным контурным токам:

 

; ; ; ; ; .

 

Отметим, что при определении токов , и учитывалось, что контурный ток, совпадающий с током в ветви, берется со знаком «+», не совпадающий – со знаком «–». При этом значения контурных токов подставляются в формулы со своим знаком.

 

 

 

Задача № 4 расчет последовательной цепи переменного тока, содержащей активное сопротивление, индуктивность и емкость

Катушка с активным сопротивлением и индуктивностью L соединена последовательно с конденсатором емкостью C и подключена к источнику переменного тока с частотой f и амплитудным значением напряжения (табл. 5.1). Определить действующее значение тока, полное сопротивление цепи, полную, активную и реактивную мощности. Построить векторную диаграмму токов и напряжений, треугольник сопротивлений и мощностей. Определить частоту тока при резонансе напряжений.

Таблица 5.1

Исходные данные к задаче № 5

Вариант	, Ом	, мГн	, мГн	, мкФ	, мкФ	, В	f, Гц
1	10	50	60	50	–	110	50
2	100	100	30	60	–	220	50
3	20	15	50	25	–	160	300
4	80	20	10	4	–	200	1000
5	50	3	5	0,4	–	300	4000
6	10	3	5	10	–	30	500
7	200	3	4	8	–	50	200
8	100	20	50	4	–	300	500
9	10	2,5	3	2,5	–	200	4000
10	200	15	100	4	–	30	200
11	40	5	4	5	–	120	1000
12	70	5	12	10	–	100	1000
13	200	–	100	2	4	60	200
14	100	–	50	5	10	100	200
15	60	–	150	2	2	220	200
16	100	–	300	14	25	300	100
17	120	–	50	8	0,5	5	200
18	140	–	500	10	8	30	50
19	100	–	600	25	1,5	50	50
20	20	–	30	30	30	100	300
21	80	–	10	20	10	120	300
22	50	–	15	10	4	200	500
23	40	–	5	4	0,5	250	1000
24	70	–	15	15	20	300	300
25	200	–	200	5	10	150	200

Ход решения задачи

 

Переменным током называется электрический ток, изменяющийся с течением времени. Значение электрического тока (эдс, напряжения) в рассматриваемый момент времени называется мгновенным значением тока (эдс, напряжения), а наибольшее (максимальное) значение периодических токов – амплитудой.

В цепи переменного тока, обладающей только активным сопротивлением, ток и напряжение совпадают по фазе, т. е. они одновременно проходят через свои нулевые и максимальные значения. Угол . Действующее значение тока I определяется отношением действующего напряжения U к сопротивлению цепи R: . Мощность цепи .

Расчет цепи ведется так же, как и при постоянном токе.

Всякий потребитель, обладающий индуктивностью, вызывает в цепи переменного тока сдвиг фаз между напряжением и током, причем напряжение опережает ток. Сдвиг фаз между напряжением и током равен 90º.

Сопротивление току, обусловленное действием индуктивности, называется индуктивным, или реактивным, сопротивлением. Обозначается индуктивное сопротивление через и измеряется в омах (Ом). Величина его определяется по формуле

,

 

где – индуктивное сопротивление; Ом; L – индуктивность, Гн; – угловая частота, ; f – частота питающей сети, Гц.

Падение напряжения в индуктивном сопротивлении называется индуктивным падением напряжения и обозначается : .

Из этой формулы следует, что ток .

Переменный ток в цепи с емкостью при отсутствии активного сопротивления и индуктивности опережает напряжение на четверть периода, т. е. сдвинут по фазе в сторону опережения на угол 90.

Емкостное сопротивление определяется по формуле

 

,

 

где – емкостное сопротивление, Ом; С – емкость, мкФ.

Напряжение на емкостном сопротивлении называется емкостным падением напряжения и обозначается : .

Из этой формулы следует, что ток .

Полное сопротивление цепи переменного тока, состоящей из активного сопротивления, индуктивности и емкости,

 

,

 

где Х – общее реактивное сопротивление, Ом; R – активное сопротивление, Ом.

Действующее значение тока определяется по формуле

,

 

где – амплитудное значение напряжения на входе цепи, В.

Для построения векторной диаграммы цепи переменного тока, состоящей из активного сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 5.1), надо отложить вектор активного падения напряжения по направлению вектора тока I (рис. 5.2). Вектор индуктивного падения напряжения строится под углом 90 к вектору I в сторону опережения, а вектор емкостного падения напряжения строится также под углом 90 к вектору I, но в сторону отставания.

Чтобы получить вектор полного напряжения цепи, надо сложить векторы , и . Угол – угол сдвига фаз между током и напряжением на зажимах цепи.

 

Рис. 5.1. Последовательная цепь переменного тока, состоящая из активного сопротивления, индуктивности и емкости	Рис. 5.2. Векторная диаграмма цепи, изображенной на рис. 5.1

 

Угол сдвига фаз между током и напряжением на зажимах цепи определяется по формулам:

, .

 

При анализе электрических цепей переменного тока используют треугольник сопротивлений (рис. 5.3), который можно получить из треугольника напряжений, и треугольник мощностей (рис. 5.4), который можно получить, умножив стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока.

Рис. 5.3. Треугольник сопротивлений	Рис. 5.4. Треугольник мощностей

 

В случае равенства индуктивного и емкостного сопротивлений реактивное сопротивление будет равно нулю, а полное сопротивление Z будет равно активному сопротивлению R. Сдвиг фаз между током и напряжением цепи будет равен нулю ( ) и ток в цепи .

Этот случай получил название резонанса напряжений. При этом влияние индуктивности и емкости полностью компенсируется, и цепь ведет себя так, как будто она состоит только из активного сопротивления.

При постоянных значениях L и C резонансная частота питающей сети

 

.

 

Активная мощность цепи вычисляется по формуле .

Реактивная мощность цепи может быть определена через реактивные сопротивления:

  .

Полная мощность цепи вычисляется по формуле

 

.

 

Единицы мощности для называются по-разному: для – ватт (Вт), для – вольт-ампер реактивный (вар), для – вольт-ампер (ВА).