43.Методика навчання розв'язування показникових та логарифмових рiвнянь та нерівностей.

Показникові рівняння.

  Приступаючи до розв’язування найпростійших показникових рівнянь,доцільно вписати на довідковій таблиці або на дошці основні формули дійіз степенями.Цей орієнтир бажано занотувати в зошитах учнів, щоб вони в подальшому вільно пізнавали такі показникові рівняння, які безпосередньо зводятьсядо найпростійших.

Після відпрацювання розв’язання найпростійших рівнянь бажанозапропонувати учням загальну схему пошуку розв’язку складнішихпоказникових рівнянь. Ця схема може бути, наприклад, такою:

 - Звільняємось від числових доданків упоказниках степенів.

 - Пробуємо всі степені звести до однієї основи.

 - Якщо не вдається звести до однієї основи, то пробуємо звести до двох

основ так, щоб дістати однорідне рівняння.

  В інших випадках використовуємо спеціальні прийоми розв’язування:

а)використовуємо монотонність показникової функції; б) оцінюємо множину

значень функції, у лівій і правій частині рівняння і т.д. Гадуємо означення і ідею розв’язку однорідного рівняння. (Рівняння, всі члени якого мають однаковий сумарний степінь, називається однорідним. Розв’язується однорідне рівняння діленням на найвищий степінь.)

  Після відпрацювання зазначних прийомів розв’язування показникових

рівнянь доцільно звернути увагу учнів на те, що для розв’язування деяких

показникових рівнянь доречно використовувати теорему про корінь.

Показникові нерівності.

 При розв’язуванні найпростіших показникових нерівностей, що дуже

доступно викладено в підручнику, доцільно звернути увагу учнів на те, що

іноді потрібен спеціальний аналіз для оцінки основи показникової

функції.

  Розв’язуючи складніші показникові нерівності, бажано звернути увагу

учнів на доцільність використання тієї самої схеми розв’язування

нерівностей, що й для показникових рівнянь.

 - неперервна на кожному інтервалі своєї області визначення функція)

методом інтервалів, а саме:

 Знаходимо область визначення нерівності.Знаходимо нулі функції.

  Позначаємо нулі функції на області визначення і знаходимо знак у

кожному інтервалі, на які розбивається область визначення.

Логарифмічні рівняння і нерівності.

  При введенні поняття логарифму і властивостей логарифмічної функції

необхідно значну увагу приділити вмінню застосовувати основну

логарифмічну тотожність, а також формулу переходу від однієї основи

логарифма до іншої.

  Приступаючи до розв’язування логарифмічних рівнянь, треба враховувати,

що всі властивості логарифмічної функції були доведені за умови, що

вирази, які стоять під знаком логарифма, додатні. будуть одночасно від’ємні. У цьому випадку формулу «логарифм добутку» не використовують, бо можлива втрата коренів.

 

Структура рівносильних перетворень рівнянь або нерівностей.Область визначення.

 Обмеження, які необхідні для гарантування прямих і обернених перетворень.

  Відповідні властивості числових рівностей або нерівностей або

властивості відповідних функцій.

  Як бачимо, щоб виконувані перетворення були рівносильні, необхідно, щоб

виконувалися і обернені перетворення на області визначення даного

рівняння.

  Бажано по можливості не використовувати формули логарифмування добутку,

частки, і парного степеня, якщо це призводить до звуженняобласті

визначення рівняння, а користуватися цими формулами тільки справа

наліво, що приводить до розширення області визначення (в цьому випадку

модлива хіба що поява сторонніх коренів, але їх можна відсіяти

перевіркою).

Слід звернути увагу учнівна те, що при розв’язуванні логарифмічних

рівнянь можна користуватися не тільки рівносильними перетвореннями, але

й діставати рівняння-наслідки (коли ми гарантуємо тільки прямі

перетворення і не гарантуємо обернені). Учні повинні розуміти, що при

використанні рівнянь-наслідків можлива поява стороніх коренівь і тому в

цьому випадку перевірка є складовою частиною розв’язування рівняння.

Логарифмічні нерівності.

Розв’язуючи логарифмічні нерівності, доцільно використати загальну

схему рівносильних перетворень нерівностей. Ця схема іноді дає надмірну

систему обмежень, яку можна суттєво спростити. Для рівносильності

рівнянь надмірність системи обмежень майже не впливає на об’єм роботи

щодо розв’язування цих рівнянь - можна не знаходити відповідні

значення змінної з цих обмежень, а тільки перевіряти для кожного

знайденого кореня. Розв’язком нерівності, як правило, є інтервал (або

кілька інтервалів), які містять нескінчену множину чисел, а всі їх

перевірити неможливо. Отже для розв’язування нерівності доведеться

знаходити відповідні значення змінної з усіх записаних обмежень, і тому

чим менше залишиться цих обмежень, тим краще. Бажано запропонувати учням

не знаходити окремо область визначення нерівності, а спочатку записувати

повну систему обмежень і рівносильну нерівность, а потім намагатися

споростити утворену систему.

Слід звернути увагу учнівна те, що при розв’язуванні логарифмічних

нерівностей можна використовувати всі ті прийоми, які використовувалися

при розв’язуванні логарифмічних рівнянь.

  Розв’язування деяких нерівностей за допомогою рівносильних перетворень

досить громіздке, і тому використовуємо для розв’язування деяких

нерівностей узагальнений метод інтервалів.