7 Проверка гипотез о равноточности нескольких рядов испытаний, сравнения

нескольких средних значений, нормальности результатов испытаний по

совокупности малых выборок, значимости аномальных результатов.

Проверка на равноточность результатов испытаний проводится с применением критерия Фишера (2.12)

где F_p,f1,f2- табличное значение критерия Фишера [5] для вероятности и чисел степеней свободы.

Вычисленные значения заносятся в таблицу 7.1.

Так как выполняется условие для этих выборок, гипотеза равноточности двух (2,3,4 в соответствии с 1) рядов результатов испытаний принимается.

Таблица 7.1 – Значения критерия Фишера

Fp,f1,f2	F2
3,723	0,877

Проверка значимости различия средних значений результатов испытаний. Проверка статистической гипотезы выполняется для второй выборку в сопоставлении с первой.

При выполнении условия t t_p,f, различие средних значений одного ряда (2 ряда относительно1 ряда) результатов испытаний незначимо.

Проверка нормальности закона распределения результатов испытаний определяется с помощью критерия Пирсона (2.10) и Колмогорова (2.23).

Методика выполнения включает :

1) Расчет max и min значения

2) Определяется шаг интервалов:

3) Определяются границы интервалов:

4) Определяется частота и середина интервалов:

5) Для определения вероятности p_i попадания значений случайной величины в i-й интервал для нормального закона распределения, находится функция Лапласа [6]:

6) Вероятности p_i попадания значений случайной величины в i-й интервал для нормального закона распределения:

Определяется функции Лапласа по таблице [6]:

7) Находятся разности вероятности p_i попадания значений случайной величины в i-й интервал

Тогда вероятности попадания случайной величины можно свести в таблицу 7.2

Таблица 7.2 – Вероятности попадания случайной величины

χ21-р	χ21	χ22
63,12	36,15	37,42

Гипотеза о принятом типе закона распределения принимается на данном уровне значимости p, если χ² < χ²_1-p, где χ²_1-p определяются по таблице для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы f. Если χ² > χ²_1-p делается вывод, что гипотеза не согласуется с выборочным законом распределения.

Для 1,2 гипотеза согласуется с выборочным законом распределения.

Для определения функции распределения, надо записать средние значения интервалов.

Определяются по таблице значения Функции Лапласа для этих выражений:

Обозначается генеральная функция распределения как DX

Обозначается выборочная функция распределения как Fxx

Для применения критерия Колмогорова (2.40) определяется наибольшее абсолютное отклонение выборочной функции распределения F_n(x) от генеральной F(x):

Затем вычисляется величина λ:

Так как вычисленные значения λ меньше табличного λ_1-р, то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения F(x) с выборочным F_n(x) не отвергается.

Выборочные коэффициенты ассиметрии и эксцесса:

Распределения этих оценок сложны и мало изучены. Однако известны дисперсии этих величин:

Выборки удовлетворяют условию:

Поэтому наблюдаемое распределение можно считать нормальным.

Значимость аномальных результатов испытаний выборок с нормальным законом распределения проверяется по критерию Диксона (табл 2.3).

1) Определяется средне квадратичное отклонение выборок:

2) Для наименьшего экстремального значения параметра:

3) Для наибольшего экстремального значения параметра

В соответствии с критерием Диксона нулевая гипотеза об отсутствии грубой погрешности не выполняется для 2 выборки.

8 Построение уравнений регрессии линейного и неполноквадратичного вида и оценка значимости коэффициентов и достоверности построенных моделей

Число входных факторов к=3.

Выполнится проверка возможности проведения обработки результатов эксперимента методом множественного регрессионного анализа по критерию Кохрена.

Проверка предпосылки фактически сводится к проверке постоянства дисперсии «шума»:

Считается, что это условие выполнено, если справедлива гипотеза

Проверка данной гипотезы при конкурирующей хотя бы одна дисперсия не равна остальным, для одинакового числа параллельных опытов в каждой точке плана эксперимента, производится с помощью критерия Кохрена (2.40). Статистика G этого критерия имеет вид

Так как выполняется условие , то гипотеза об однородности ряда выборочных дисперсий выходного параметра не отвергается.

Записав уравнение приближенной регрессии в виде , определяются значения коэффициентов .

- дисперсия воспроизводимости, характеризующая рассеивание значений выходного параметра при повторении одного и того же опыта, при одном и том же сочетании уровней факторов:

Любой коэффициент уравнения регрессии определяется по формуле (2.37)

Проверяется адекватность уравнения регрессии результата эксперимента.

Остаточная дисперсия:

Критерий Фишера (2.12)

В общем случае, так как не выполняется условие, гипотеза об адекватности не может быть принята, следовательно, надо принять другое уравнение, например неполноквадратичное.

Заключение

В процессе работы выполнено следующее

1. Проверена равноточность результатов испытаний. Для решения задачи было использовано дисперсионное отношение оценок большей дисперсии к меньшей (коэффициент Фишера) F= / . Проверка гипотезы сводится к проверке неравенства F ≤ . Так как выполняется условие для всех выборок, гипотеза равноточности одного ряда (2 ряда относительно 1 ряда) результатов испытаний принимается.

2. Проверена значимость различия средних значений результатов испытаний. При выполнении условия , различие средних значений второго ряда (относительно 1 ряда) результатов испытаний незначимо. Объем выборок следует увеличить.

3. Проверена нормальность распределения результатов испытаний. Гипотеза о принятом типе закона распределения принимается на данном уровне значимости p, если , где ( критерий Пирсона) определяются по таблице для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы f. Если делается вывод, что гипотеза не согласуется с выборочным законом распределения. Для 1,2 рядов гипотеза согласуется с выборочным законом распределения. Так как вычисленные значения λ (критерия Колмогорова) меньше табличного , то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения F(x) с выборочным F_n(x) не отвергается.

Выборки удовлетворяют условию поэтому наблюдаемое распределение можно считать нормальным.

4. Задано число входных факторов к=3.

5. Выполнена проверка возможности проведения обработки результатов эксперимента методом множественного регрессионного анализа по критерию Кохрена. Так как ,то гипотеза об однородности ряда выборочных дисперсий выходного параметра не отвергается. Это означает, что для значимых различий и в качестве оценки дисперсии воспроизводимости эксперимента можно взять среднюю дисперсию.

6. Записано уравнение приближенной регрессии в виде , и определены значения коэффициентов .

7. Выполнена проверка адекватности уравнения регрессии результатам эксперимента.

В общем случае, так как не выполняется условие , то гипотеза об адекватности не принята, данный предел не подходит.

8. Проверена значимость аномальных результатов испытаний выборок с нормальным законом распределения по критерию Диксона. Нулевая гипотеза об отсутствии грубой погрешности не выполняется для 1-й выборки. Для остальных выполняется.

Список использованных источников

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. Изд.2-е; пер. Учебное пособие для вузов. –М.: Изд-во физ-мат. лит., 1962. - 639 с.

2. Экспериментальная отработка космических летательных аппаратов / В.А.Афанасьев, В.С. Барсуков, М.Я. Гофин, Ю.В.Захаров, А.Н.Стрельченко, Н.П.Шалунов; Под редакцией Н.В.Холодкова. – М.: Изд - во МАИ, 1994.

3. Теоретические основы испытаний и экспериментальная отработка сложных технических систем/Л.Н. Александровская, В.И. Круглов, А.Г. Кузнецов и др.: Учеб. пособие.-М.: Логос, 2003.

4. Космонавтика: Энциклопедия / гл. ред. В.П.Глушко; Редколлегия: В.П.Бармин, К.Д.Бушуев и др. –М.: Сов. Энциклопедия, 1985.

5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. Изд.2-е; пер. Учебное пособие для вузов. –М.: Изд-во физ-мат. лит., 1962. - 639 с.