Построить пирамиду из x1,…,xn,
Поменять
местами x1
и xi
For i:=n downto 2 do Восстановить пирамиду
в x1,…,xi-1
Это общее описание пирамидальной сортировки.
Как преобразовать в пирамиду данное бинарное дерево, все листья которого максимально сдвинуты влево и оба поддерева которого являются пирамидами? Сравниваем корень с большим из сыновей. Если корень больше, дерево уже является пирамидой; в противном случае мы меняем его местами с большим сыном и применяем рекурсивно алгоритм восстановления к поддереву, корень которого заменялся. Таким образом, процедура RESTORE(j,k)восстановления пирамиды из последовательности xj,xj+1,…,xk в предположении, что все поддеревья суть пирамиды, такова:
procedure RESTORE(j,k)
пусть
xm
есть больший из сыновей xj
if xj лист then поменять местами xm и xj
if xm>xj then
RESTORE(m,k)
Переписывая это итеративным способом и дополняя деталями, мы получаем следующий алгоритм.
Реализация
procedure RESTORE(var f,l:index);
var j,m:index; x:item;
begin
j:=f;
while(j<=(l div 2)) do
begin
if (2*j<l) and (A[2*j].key<A[2*j+1].key) then m:=2*j+1 else m:=2*j;
if (A[m].key>A[j].key) then
begin
x:=A[m]; A[m]:=A[j]; A[j]:=x;
j:=m;
end
else j:=l;
end;
end;
Для построения пирамиды вначале заметим, что свойство пирамидальности уже выполняется (тривиально) для каждого листа (xi, i=0.5n+1,…,n) и что обращение к RESTORE(i,n)для i=0.5n, 0.5n-1,…,1 преобразует таблицу в пирамиду на всех высших уровнях. Таким образом, пирамидальная сортировка производится так, как показано в алгоритме. Первый цикл for строит пирамиду и известен как фаза построения; второй цикл for носит название фазы выбора.
Реализация
procedure piramid_sort;
var i,nn,o,o1:index; x:item;
begin
nn:=n; o:=1;
for i:=(nn div 2) downto 1 do RESTORE(i,nn);
for i:=nn downto 2 do
begin
x:=A[1];
A[1]:=A[i];
A[i]:=x;
o1:=i-1;
RESTORE(o,o1);
end;
end;
Сортировка обменом
Сортировка разделением
Рассмотрим еще один метод сортировки обменом. Он обладает столь блестящими характеристиками, что его изобретатель К.Хоор окрестил его быстрой сортировкой. Быстрая сортировка основана на том факте, что для достижения наибольшей эффективности желательно производить обмены элементов на больших расстояниях. Предположим, что нам даны n элементов с ключами, расположенными в обратном порядке. Их можно рассортировать, выполнив всего n/2 обменов, если сначала поменять местами самый левый и самый правый элементы и так постепенно продвигаться от двух концов к середине. Разумеется, это возможно, но только если мы твердо знаем, что элементы расположены строго в обратном порядке.
Попробуем рассмотреть следующий алгоритм: выберем случайным образом какой-то элемент (назовем его х), просмотрим массив, двигаясь справа налево, пока не найдем элемента A[i] > х, а затем просмотрим его справа налево, пока не обнаружим A[i]<х. Теперь поменяем местами эти два элемента и продолжим процесс "просмотра с обменом", пока два просмотра не встретятся где-то в середине массива. В результате массив разделится на две части: левую – с ключами меньшими, чем х и правую - с ключами большими. Теперь запишем этот алгоритм разделения в виде процедуры в программе (см. ниже). Заметим что отношения > и < заменены на «больше или равно» и «меньше или равно», отрицания которых в операторе цикла с предусловием - это < и >. При такой замене х действует как барьер для обоих просмотров.
Реализация
procedure partition;
var w,x: item;
begin i:=1; j:=n;
"выбор случайного элемента х;"
repeat
while (A[i].key < x.key) do i:=i+1;
while (x.key < A[j].key) do j:=j-1;
if (i<=j) then
begin w:=A[i]; A[i]:=A[j]; A[j]:=w;
i:=i+1; j:=j-1;
end;
until (i>j);
end;
Если, например, в качестве х выбрать средний ключ, равный 42, из массива ключей 44 55 12 |42| 94 06 18 67 то, для того, чтобы разделить массив, потребуется два обмена
18 06 12 |42| 94 55 44 67
конечные значения индексов i=5 и j=3. Ключи A[1],...,A[i-1] меньше или равны ключу х=42, ключи A[j+1],...,A[n] больше или равны х. Следовательно, мы получили два подмассива:
A[k].key <= x.key для k=1, ..., i-1,
A[k].key >= x.key для k=j+1, ..., n
и, следовательно
A[k].key = x.key для k=j+1, ..., i-1
Этот алгоритм очень прост и эффективен. Но он так же может быть весьма неуклюжим, как видно из примера с n одинаковыми ключами, в котором выполняется n/2 обменов. Эти ненужные обмены можно легко устранить, заменив, операторы просмотра на
while (A[i].key < x.key) do i:=i+1;
while (x.key < A[j].key) do j:=j-1;
Но тогда выбранный для сравнения элемент, который находится в массиве, перестанет служить в качестве барьера для двух разнонаправленных просмотров. В случае, когда в массиве все ключи одинаковы, просмотры выйдут за его границы, если не использовать более сложные условия окончания. Простота условий в программе оправдывает излишние обмены, которые в среднем для случайных массивов происходят довольно редко.
Теперь нам пора вспомнить, что наша цель не только разделить исходный массив элементов на большие и меньшие, но так же рассортировать его. Однако от разделения до сортировки один небольшой шаг: разделив массив, нужно сделать то же самое с обеими полученными частями, затем с частями этих частей и т.д., пока каждая часть будет содержать только один элемент. Этот метод представлен программой ниже.
Реализация
procedure QuickSort;
procedure sort (l,r: index);
var i,j: index; w,x: item;
begin i:=l; j:=r;
x:= A[(l+r) div 2];
repeat
while (A[i].key < x.key) do i:=i+1;
while (x.key < A[j].key) do j:=j-1;
if (i<=j) then
begin w:=A[i]; A[i]:=A[j]; A[j]:= w;
i:=i+1; j:=j-1;
end;
until (i>j);
if (l<j) then sort(l,j);
if (i<r) then sort(i,r)
end;
begin sort(1,n);
end; { QuickSort }
Процедура sort рекурсивно вызывает сама себя. Такое использование рекурсии в алгоритмах - очень мощное средство. В некоторых языках программирования старого образца рекурсия по некоторым техническим причинам запрещена. Поэтому выразим тот же алгоритм в виде не рекурсивной процедуры. Очевидно, что при этом рекурсия представляется как итерация, причем необходимы некоторые операции для хранения информации.
Основа итеративного решения - введение списка вопросов на разделения, которые еще предстоит выполнить. После каждого шага нужно произвести два очередных разделения, и лишь одно из них можно выполнить непосредственно при следующей итерации, запрос на другое заносится в список. Важно, разумеется, что вопросы из списка выполняются в обратном порядке. Это предполагает, что первый занесенный в список запрос выполняется последним и наоборот; список ведет себя как пульсирующий стек. В следующей не рекурсивной версии быстрой сортировки каждый запрос представлен просто левым и правыми индексами, определяющими границы части, которую впоследствии нужно будет разделить. Итак, мы вводим переменную - массив, называемую stack, и индекс s, указывающий на самую последнюю запись в этом стеке. Вопрос о размере стека m требует более детального анализа алгоритма.
Реализация
procedure QuickSort1;
const m = 12;
var i,j,l,r: index;
x,w: item;
s: 0..m;
stack: array[1..m] of
record l,r: index end;
begin s:= 1; stack[1].l:=1; stack[1].r:=n;
repeat {выбор запроса из вершины стека}
l:=stack[s].l; r:=stack[s].r; s:=s-1;
repeat { разделить A[l] ... A[r] }
i:=l; j:=r; x:=A[(l+r) div2];
repeat
while (A[i].key < x.key) do i:=i+1;
while (x.key < A[j].key) do j:=j-1;
if (i<=j) then
begin w:=A[i]; A[i]:=A[j]; A[j]:=w;
i:= i+1; j:=j-1;
end;
until (i>j);
if (i<r) then
begin { запись в стек запроса на сортировку правой части }
s:=s+1; stack[s].l:=i; stack[s].r:=r;
end;
r:=j;
until (l>=r);
until (s=0);
end; { QuickSort1 }
Словари
Словари - это структуры данных, которые поддерживают операции поиска, вставки и удаления. Один из наиболее эффективных способов реализации словаря - хеш-таблицы. Как правило, к ключам применяется какая-нибудь простая функция, значения которой дают место ключа в словаре; хорошая функция рандомизирует значения ключей, рассеивая их по интервалу [1, N], где N - количество мест в словаре (объем хеш-таблицы). Мы рассмотрим также двоичные и красно-черные деревья. Методы работы с обоими типами деревьев включают приемы, с которыми мы познакомились при изучении бинарного поиска. Наконец, слоёные списки (skip lists) - еще одна иллюстрация пользы применения случайных чисел при построении словарей.
Хеш-таблицы
Один из наиболее эффективных способов реализации словаря - хеш-таблица. Среднее время поиска элемента в ней есть O(1), время для наихудшего случая - O(n). Прекрасное изложение хеширования можно найти в работах Кормена [1990] [Cormen] и Кнута [1998] [Knuth]. Чтобы читать статьи на эту тему, вам понадобится владеть соответствующей терминологией. Здесь описан метод, известный как связывание или открытое хеширование [Aho]. Другой метод, известный как замкнутое хеширование [Aho] или закрытая адресация [Knuth], здесь не обсуждаются. Ну, как?
Теория
Хеш-таблица - это обычный массив с необычной адресацией, задаваемой хеш-функцией. Например, на рис. 3.1 hashTable - это массив из 8 элементов. Каждый элемент представляет собой указатель на линейный список, хранящий числа. Хеш-функция в этом примере просто делит ключ на 8 и использует остаток как индекс в таблице. Это дает нам числа от 0 до 7 Поскольку для адресации в hashTable нам и нужны числа от 0 до 7, алгоритм гарантирует допустимые значения индексов.
Рис. 3.1. Хеш-таблица
Чтобы вставить в таблицу новый элемент, мы хешируем ключ. Этим мы определяем список, в который его нужно добавить. Затем вставляем элемент в начало этого списка. Например, чтобы добавить 11, мы делим 11 на 8 и получаем остаток 3. Таким образом, 11 следует разместить в списке, на начало которого указывает hashTable[3]. Чтобы найти число, мы его хешируем и проходим по соответствующему списку. Чтобы удалить число, мы находим его и удаляем элемент списка, его содержащий.
При добавлении элементов в хеш-таблицу выделяются куски динамической памяти, которые организуются в виде связанных списков, каждый из которых соответствует входу хеш-таблицы. Этот метод называется связыванием. Другой метод, в котором все элементы располагаются в самой хеш-таблице, известен как прямая или открытая адресация; его описание вы найдете в цитируемой литературе.
Если хеш-функция распределяет совокупность возможных ключей равномерно по множеству индексов, то хеширование эффективно разбивает множество ключей. Наихудший случай - когда все ключи хешируются в один индекс. При этом мы работаем с одним линейным списком, который и вынуждены последовательно сканировать каждый раз, когда что-нибудь делаем. Отсюда видно, как важна хорошая хеш-функция. Здесь мы рассмотрим лишь несколько из возможных подходов. При иллюстрации методов предполагается, что unsigned char располагается в 8 битах, unsigned short int - в 16, unsigned long int - в 32.
Деление (размер таблицы hashTableSize - простое число). Этот метод использован в последнем примере. Хеширующее значение hashValue, изменяющееся от 0 до (hashTableSize - 1), равно остатку от деления ключа на размер хеш-таблицы. Вот как это может выглядеть:
typedef int HashIndexType;
HashIndexType Hash(int Key) {
return Key % HashTableSize;
}
Для успеха этого метода очень важен выбор подходящего значения hashTableSize. Если, например, hashTableSize равняется двум, то для четных ключей хеш-значения будут четными, для нечетных - нечетными. Ясно, что это нежелательно - ведь если все ключи окажутся четными, они попадут в один элемент таблицы. Аналогично, если все ключи окажутся четными, то hashTableSize, равное степени двух, попросту возьмет часть битов Key в качестве индекса. Чтобы получить более случайное распределение ключей, в качестве hashTableSize нужно брать простое число, не слишком близкое к степени двух.
Мультипликативный метод (размер таблицы hashTableSize есть степень 2n). Значение key умножается на константу, затем от результата берется необходимое число битов. В качестве такой константы Кнут рекомендует золотое сечение (sqrt(5) - 1)/2 = 0.6180339887499. Пусть, например, мы работаем с байтами. Умножив золотое сечение на 28, получаем 158. Перемножим 8-битовый ключ и 158, получаем 16-битовое целое. Для таблицы длиной 25 в качестве хеширующего значения берем 5 младших битов младшего слова, содержащего такое произведение. Вот как можно реализовать этот метод:
/* 8-bit index */
typedef unsigned char HashIndexType;
static const HashIndexType K = 158;
/* 16-bit index */
typedef unsigned short int HashIndexType;
static const HashIndexType K = 40503;
/* 32-bit index */
typedef unsigned long int HashIndexType;
static const HashIndexType K = 2654435769;
/* w=bitwidth(HashIndexType), size of table=2**m */
static const int S = w - m;
HashIndexType HashValue = (HashIndexType)(K * Key) S;
Пусть, например, размер таблицы hashTableSize равен 1024 (210). Тогда нам достаточен 16-битный индекс и S будет присвоено значение 16 - 10 = 6. В итоге получаем:
typedef unsigned short int HashIndexType;
HashIndexType Hash(int Key) {
static const HashIndexType K = 40503;
static const int S = 6;
return (HashIndexType)(K * Key) S;
}
Аддитивный метод для строк переменной длины (размер таблицы равен 256). Для строк переменной длины вполне разумные результаты дает сложение по модулю 256. В этом случае результат hashValue заключен между 0 и 255.
typedef unsigned char HashIndexType;
HashIndexType Hash(char *str) {
HashIndexType h = 0;
while (*str) h += *str++;
return h;
}
Исключающее ИЛИ для строк переменной длины (размер таблицы равен 256). Этот метод аналогичен аддитивному, но успешно различает схожие слова и анаграммы (аддитивный метод даст одно значение для XY и YX). Метод, как легко догадаться, заключается в том, что к элементам строки последовательно применяется операция "исключающее или". В нижеследующем алгоритме добавляется случайная компонента, чтобы еще улучшить результат.
typedef unsigned char HashIndexType;
unsigned char Rand8[256];
HashIndexType Hash(char *str) {
unsigned char h = 0;
while (*str) h = Rand8[h ^ *str++];
return h;
}
Здесь Rand8 - таблица из 256 восьмибитовых случайных чисел. Их точный порядок не критичен. Корни этого метода лежат в криптографии; он оказался вполне эффективным (Pearson [1990]).
Исключающее ИЛИ для строк переменной длины (размер таблицы <= 65536). Если мы хешируем строку дважды, мы получим хеш-значение для таблицы любой длины до 65536. Когда строка хешируется во второй раз, к первому символу прибавляется 1. Получаемые два 8-битовых числа объединяются в одно 16-битовое.
typedef unsigned short int HashIndexType;
unsigned char Rand8[256];
HashIndexType Hash(char *str) {
HashIndexType h;
unsigned char h1, h2;
if (*str == 0) return 0;
h1 = *str; h2 = *str + 1;
str++;
while (*str) {
h1 = Rand8[h1 ^ *str];
h2 = Rand8[h2 ^ *str];
str++;
}
/* h is in range 0..65535 */
h = ((HashIndexType)h1 << 8)|(HashIndexType)h2;
/* use division method to scale */
return h % HashTableSize
}
Размер хеш-таблицы должен быть достаточно большим, чтобы в ней оставалось разумно большое число пустых мест. Как видно из таблицы 3.1, чем меньше таблица, тем больше среднее время поиска ключа в ней. Хеш-таблицу можно рассматривать как совокупность связанных списков. По мере того, как таблица растет, увеличивается количество списков и, соответственно, среднее число узлов в каждом списке уменьшается. Пусть количество элементов равно n. Если размер таблицы равен 1, то таблица вырождается в один список длины n. Если размер таблицы равен 2 и хеширование идеально, то нам придется иметь дело с двумя списками по n/100 элементов в каждом. Это сильно уменьшает длину списка, в котором нужно искать. Как мы видим в таблице 3.1, имеется значительная свободы в выборе длины таблицы.
Таблица 3.1. Зависимость среднего времени поиска (µs) от hashTableSize. Сортируются 4096 элементов.
Размер |
Время |
|
Размер |
Время |
1 |
869 |
|
128 |
9 |
2 |
432 |
|
256 |
6 |
4 |
214 |
|
512 |
4 |
8 |
106 |
|
1024 |
4 |
16 |
54 |
|
2048 |
3 |
32 |
28 |
|
4096 |
3 |
64 |
15 |
|
8192 |
3 |
Реализация
В реализации алгоритма на Си операторы typedef T и compGT следует изменить так, чтобы они соответствовали данным, хранимым в массиве. Для работы программы следует также определить hashTableSize и отвести место под hashTable. В хеш-функции hash использован метод деления. Функция insertNode отводит память под новый узел и вставляет его в таблицу. Функция deleteNode удаляет узел и освобождает память, где он располагался. Функция findNode ищет в таблице заданный ключ.
// Коды для хеш-таблиц
typedef int T; /* type of item to be sorted */
#define compEQ(a,b) (a == b)
typedef struct Node_ {
struct Node_ *next; /* next node */
T data; /* data stored in node */
} Node;
typedef int hashTableIndex;
Node **hashTable;
int hashTableSize;
hashTableIndex hash(T data) {
/***********************************
* hash function applied to data *
***********************************/
return (data % hashTableSize);
}
Node *insertNode(T data) {
Node *p, *p0;
hashTableIndex bucket;
/************************************************
* allocate node for data and insert in table *
************************************************/
/* insert node at beginning of list */
bucket = hash(data);
if ((p = malloc(sizeof(Node))) == 0) {
fprintf (stderr, "out of memory (insertNode)\n");
exit(1);
}
p0 = hashTable[bucket];
hashTable[bucket] = p;
p->next = p0;
p->data = data;
return p;
}
void deleteNode(T data) {
Node *p0, *p;
hashTableIndex bucket;
/********************************************
* delete node containing data from table *
********************************************/
/* find node */
p0 = 0;
bucket = hash(data);
p = hashTable[bucket];
while (p && !compEQ(p->data, data)) {
p0 = p;
p = p->next;
}
if (!p) return;
/* p designates node to delete, remove it from list */
if (p0)
/* not first node, p0 points to previous node */
p0->next = p->next;
else
/* first node on chain */
hashTable[bucket] = p->next;
free (p);
}
Node *findNode (T data) {
Node *p;
/*******************************
* find node containing data *
*******************************/
p = hashTable[hash(data)];
while (p && !compEQ(p->data, data))
p = p->next;
return p;
}
Поиск в бинарных деревьях
В разделе 1 мы использовали двоичный поиск для поиска данных в массиве. Этот метод чрезвычайно эффективен, поскольку каждая итерация вдвое уменьшает число элементов, среди которых нам нужно продолжать поиск. Однако, поскольку данные хранятся в массиве, операции вставки и удаления элементов не столь эффективны. Двоичные деревья позволяют сохранить эффективность всех трех операций - если работа идет с "случайными" данными. В этом случае время поиска оценивается как O(lg n). Наихудший случай - когда вставляются упорядоченные данные. В этом случае оценка время поиска - O(n). Подробности вы найдете в работе Кормена [1990] [Cormen].
Теория
Двоичное дерево - это дерево, у которого каждый узел имеет не более двух наследников. Пример бинарного дерева приведен на рис. 3.2. Предполагая, что k содержит значение, хранимое в данном узле, мы можем сказать, что бинарное дерево обладает следующим свойством: у всех узлов, расположенных слева от данного узла, значение соответствующего поля меньше, чем k, у всех узлов, расположенных справа от него, - больше. Вершину дерева называют его корнем, узлы, у которых отсутствуют оба наследника, называются листьями. Корень дерева на рис. 3.2 содержит 20, а листья - 4, 16, 37 и 43. Высота дерева - это длина наидлиннейшего из путей от корня к листьям. В нашем примере высота дерева равна 2.
Рис. 3.2. Двоичное дерево
Чтобы найти в дереве какое-то значение, мы стартуем из корня и движемся вниз. Например, для поиска числа 16, мы замечаем, что 16 < 20, и потому идем влево. При втором сравнении видим, что 16 > 7, и потому мы движемся вправо. Третья попытка успешна - мы находим элемент с ключом, равным 16.
Каждое сравнение вдвое уменьшает количество оставшихся элементов. В этом отношении алгоритм похож на двоичный поиск в массиве. Однако, все это верно только в случаях, когда наше дерево сбалансировано. На рис. 3.3 показано другое дерево, содержащее те же элементы. Несмотря на то, что это дерево тоже бинарное, поиск в нем похож, скорее, на поиск в односвязном списке, время поиска увеличивается пропорционально числу запоминаемых элементов.
Рис. 3.3. Несбалансированное бинарное дерево
Вставка и удаление
Чтобы лучше понять, как дерево становится несбалансированным, посмотрим на процесс вставки пристальнее. Чтобы вставить 18 в дерево на рис. 3.2 мы сначала должны найти это число. Поиск приводит нас в узел 16, где благополучно завершается. Поскольку 18 16, мы попросту добавляет узел 18 в качестве правого потомка узла 16 (рис. 3.4).
На этом примере хорошо видно, как возникает несбалансированность дерева. Если данные поступают в возрастающем порядке, каждый новый узел добавляется справа от последнего вставленного. Это приводит к одному длинному списку. Обратите внимание: чем более "случайны" поступающие данные, тем более сбалансированным получается дерево.
Удаления производятся примерно так же - необходимо только позаботиться о сохранении структуры дерева. Например, если из дерева на рис. 3.4 удаляется узел 20, его сначала нужно заменить на узел 37. Это даст дерево, изображенное на рис. 3.5. Рассуждения здесь примерно следующие. Нам нужно найти потомка узла 20, справа от которого расположены узлы с большими значениями. Таким образом, нам нужно выбрать узел с наименьшим значением, расположенный справа от узла 20. Чтобы найти его, нам и нужно сначала спуститься на шаг вправо (попадаем в узел 38), а затем на шаг влево (узел 37); эти двухшаговые спуски продолжаются, пока мы не придем в концевой узел, лист дерева.
Рис. 3.4. Бинарное дерево после добавления узла 18
Рис. 3.5. Бинарное дерево после удаления узла 20
Реализация
В реализации алгоритма на Си операторы typedef T и compGT следует изменить так, чтобы они соответствовали данным, хранимым в дереве. Каждый узел Node содержит указатели left, right на левого и правого потомков, а также указатель parent на предка. Собственно данные хранятся в поле data. Адрес узла, являющегося корнем дерева хранится в указателе root, значение которого в самом начале, естественно, NULL. Функция insertNode запрашивает память под новый узел и вставляет узел в дерево, т.е. устанавливает нужные значения нужных указателей. Функция deleteNode, напротив, удаляет узел из дерева (т.е. устанавливает нужные значения нужных указателей), а затем освобождает память, которую занимал узел. Функция findNode ищет в дереве узел, содержащий заданное значение.
// Коды для бинарных деревьев
typedef int T; /* type of item to be sorted */
#define compLT(a,b) (a < b)
#define compEQ(a,b) (a == b)
typedef struct Node_ {
struct Node_ *left; /* left child */
struct Node_ *right; /* right child */
struct Node_ *parent; /* parent */
T data; /* data stored in node */
} Node;
Node *root = NULL; /* root of binary tree */
Node *insertNode(T data) {
Node *x, *current, *parent;
/***********************************************
* allocate node for data and insert in tree *
***********************************************/
/* find x's parent */
current = root;
parent = 0;
while (current) {
if (compEQ(data, current->data)) return (current);
parent = current;
current = compLT(data, current->data) ?
current->left : current->right;
}
/* setup new node */
if ((x = malloc (sizeof(*x))) == 0) {
fprintf (stderr, "insufficient memory (insertNode)\n");
exit(1);
}
x->data = data;
x->parent = parent;
x->left = NULL;
x->right = NULL;
/* insert x in tree */
if(parent)
if(compLT(x->data, parent->data))
parent->left = x;
else
parent->right = x;
else
root = x;
return(x);
}
void deleteNode(Node *z) {
Node *x, *y;
/*****************************
* delete node z from tree *
*****************************/
/* y will be removed from the parent chain */
if (!z || z == NULL) return;
/* find tree successor */
if (z->left == NULL || z->right == NULL)
y = z;
else {
y = z->right;
while (y->left != NULL) y = y->left;
}
/* x is y's only child */
if (y->left != NULL)
x = y->left;
else
x = y->right;
/* remove y from the parent chain */
if (x) x->parent = y->parent;
if (y->parent)
if (y == y->parent->left)
y->parent->left = x;
else
y->parent->right = x;
else
root = x;
/* y is the node we're removing */
/* z is the data we're removing */
/* if z and y are not the same, replace z with y. */
if (y != z) {
y->left = z->left;
if (y->left) y->left->parent = y;
y->right = z->right;
if (y->right) y->right->parent = y;
y->parent = z->parent;
if (z->parent)
if (z == z->parent->left)
z->parent->left = y;
else
z->parent->right = y;
else
root = y;
free (z);
} else {
free (y);
}
}
Node *findNode(T data) {
/*******************************
* find node containing data *
*******************************/
Node *current = root;
while(current != NULL)
if(compEQ(data, current->data))
return (current);
else
current = compLT(data, current->data) ?
current->left : current->right;
return(0);
}
<DIV ALIGN=right></DIV>
Красно-черные деревья
Двоичные деревья работают лучше всего, когда они сбалансированы, когда длина пути от корня до любого из листьев находится в определенных пределах, связанных с числом узлов. Красно-черные деревья - один из способов балансировки деревьев. Название происходит от стандартной раскраски узлов таких деревьев в красный и черный цвета. Цвета узлов используются при балансировке дерева. Во время операций вставки и удаления поддеревья может понадобиться повернуть, чтобы достигнуть сбалансированности дерева. Оценкой как среднего время, так и наихудшего является O(lg n).
Этот раздел - один из наиболее трудных в данной книжке. Если вы ошалеете от вращений деревьев, попробуйте перейти к следующему разделу о слоёных списках. Прекрасно написанные разделы о красно-черных деревьях вы найдете у Кормена [1990] [Cormen].
Теория
Красно-черное дерево - это бинарное дерево с следующими свойствами:
Каждый узел покрашен либо в черный, либо в красный цвет.
Листьями объявляются NIL-узлы (т.е. "виртуальные" узлы, наследники узлов, которые обычно называют листьями; на них "указывают" NULL указатели). Листья покрашены в черный цвет.
Если узел красный, то оба его потомка черны.
На всех ветвях дерева, ведущих от его корня к листьям, число черных узлов одинаково.
Количество черных узлов на ветви от корня до листа называется черной высотой дерева. Перечисленные свойства гарантируют, что самая длинная ветвь от корня к листу не более чем вдвое длиннее любой другой ветви от корня к листу. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим дерево с черной высотой 2. Кратчайшее возможное расстояние от корня до листа равно двум - когда оба узла черные. Длиннейшее расстояние от корня до листа равно четырем - узлы при этом покрашены (от корня к листу) так: красный, черный, красный, черный. Сюда нельзя добавить черные узлы, поскольку при этом нарушится свойство 4, из которого вытекает корректность понятия черной высоты. Поскольку согласно свойству 3 у красных узлов непременно черные наследники, в подобной последовательности недопустимы и два красных узла подряд. Таким образом, длиннейший путь, который мы можем сконструировать, состоит из чередования красных и черных узлов, что и приводит нас к удвоенной длине пути, проходящего только через черные узлы. Все операции над деревом должны уметь работать с перечисленными свойствами. В частности, при вставке и удалении эти свойства должны сохраниться.
Вставка
Чтобы вставить узел, мы сначала ищем в дереве место, куда его следует добавить. Новый узел всегда добавляется как лист, поэтому оба его потомка являются NIL-узлами и предполагаются черными. После вставки красим узел в красный цвет. После этого смотрим на предка и проверяем, не нарушается ли красно-черное свойство. Если необходимо, мы перекрашиваем узел и производим поворот, чтобы сбалансировать дерево.
Вставив красный узел с двумя NIL-потомками, мы сохраняем свойство черной высоты (свойство 4). Однако, при этом может оказаться нарушенным свойство 3, согласно которому оба потомка красного узла обязательно черны. В нашем случае оба потомка нового узла черны по определению (поскольку они являются NIL-узлами), так что рассмотрим ситуацию, когда предок нового узла красный: при этом будет нарушено свойство 3. Достаточно рассмотреть следующие два случая:
Красный предок, красный "дядя": Ситуацию красный-красный иллюстрирует рис. 3.6. У нового узла X предок и "дядя" оказались красными. Простое перекрашивание избавляет нас от красно-красного нарушения. После перекраски нужно проверить "дедушку" нового узла (узел B), поскольку он может оказаться красным. Обратите внимание на распространение влияния красного узла на верхние узлы дерева. В самом конце корень мы красим в черный цвет корень дерева. Если он был красным, то при этом увеличивается черная высота дерева.
Красный предок, черный "дядя": На рис. 3.7 представлен другой вариант красно-красного нарушения - "дядя" нового узла оказался черным. Здесь узлы может понадобиться вращать, чтобы скорректировать поддеревья. В этом месте алгоритм может остановиться из-за отсутствия красно-красных конфликтов и вершина дерева (узел A) окрашивается в черный цвет. Обратите внимание, что если узел X был в начале правым потомком, то первым применяется левое вращение, которое делает этот узел левым потомком.
Каждая корректировка, производимая при вставке узла, заставляет нас подняться в дереве на один шаг. В этом случае до остановки алгоритма будет сделано 1 вращение (2, если узел был правым потомком). Метод удаления аналогичен.
Рис. 3.6. Вставка - Красный предок, красный "дядя"
Рис. 3.7. Вставка - красный предок, черный "дядя"
Реализация
Ниже мы приводим коды, реализующие работу с красно-черными деревьями на Си. Операторы typedef T, а также сравнивающие compLT и compEQ следует изменить так, чтобы они соответствовали данным, хранимым в узлах дерева. В каждом узле типа Node хранятся указатели left, right на двух потомков и parent на предка. Цвет узла хранится в поле color и может быть либо RED, либо BLACK. Собственно данные хранятся в поле data. Все листья дерева являются "сторожевыми" (sentinel), что сильно упрощает коды. Узел root является корнем дерева и в самом начале является сторожевым.
Функция insertNode запрашивает память под новый узел, устанавливает нужные значения его полей и вставляет в дерево. Соответственно, она вызывает insertFixup, которая следит за сохранением красно-черных свойств. Функция deleteNode удаляет узел из дерева. Она вызывает deleteFixup, которая восстанавливает красно-черные свойства. Функция findNode ищет в дереве нужный узел.
// Коды для красно-черных деревьев
typedef int T; /* type of item to be sorted */
#define compLT(a,b) (a < b)
#define compEQ(a,b) (a == b)
/* Red-Black tree description */
typedef enum { BLACK, RED } nodeColor;
typedef struct Node_ {
struct Node_ *left; /* left child */
struct Node_ *right; /* right child */
struct Node_ *parent; /* parent */
nodeColor color; /* node color (BLACK, RED) */
T data; /* data stoRED in node */
} Node;
#define NIL &sentinel /* all leafs are sentinels */
Node sentinel = { NIL, NIL, 0, BLACK, 0};
Node *root = NIL; /* root of Red-Black tree */