Рассмотрим два случая
1-й случай, когда число оканчивается цифрой 0, тогда y = 0.
Чтобы число делилось на 9, его сумма цифр, которая равна 7 + 1 + x + 1 + 0 =
= x + 9.
x может равняться либо 0, либо 9, чтобы полученная сумма делилась на 9.
В результате получаем два искомых числа: 71010 и 71910.
2-й случай, когда число оканчивается цифрой 5, тогда y = 5.
Сумма цифр числа, в этом случае, равна: 7 + 1 + x + 1 + 5 = x + 14.
Чтобы сумма делилась на 9, x = 4.
Получим еще одно искомое число: 71415.
Ответ: 71010, 71910, 71415.
Пример
3.
Найдите все пятизначные числа вида
,
каждое из которых делится на 45.
Решение
Чтобы число делилось на 45, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 9 и на 5.
Признак делимости на 9: "На 9 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, тогда оно не делится на 9".
Признак делимости на 5: "На 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются либо цифрой 0, либо цифрой 5".
Рассмотрим два случая
1-й случай, когда число оканчивается цифрой 0, тогда y = 0.
Чтобы число делилось на 9, его сумма цифр, которая равна 1 + 3 + 5 + x =
= x + 9.
x может равняться либо 0, либо 9, чтобы полученная сумма делилась на 9.
В результате получаем два искомых числа: 13500 и 13590.
2-й случай, когда число оканчивается цифрой 5, тогда y = 5.
Сумма цифр числа, в этом случае, равна: 1 + 3 + 5 + x + 5 = x + 14.
Чтобы сумма делилась на 9, x = 4.
Получим еще одно искомое число: 13545.
Ответ: 13500, 13590, 13545.
Пример
4.
Найдите все пятизначные числа вида
,
каждое из которых делится на 6 и на 9.
Решение
На 6 будут делится все те числа, которые делятся на 3 и на 2.
Признак делимости на 3: "На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3".
Признак делимости на 2: "На 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой или нулем, т. е. на 0, 2, 4, 6, 8".
Признак делимости на 9: "На 9 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9".
Таким образом, если число делится на 9, тогда оно и подавно будет делится на 3.
Чтобы число делилось на 6 и на 9, необходимо и достаточно, чтобы его сумма цифр делилась на 9 и оно оканчивалось четной цифрой.
Сумма цифр числа равна 5 + 1 + 7 + x + y = x + y + 13.
Рассмотрим несколько случаев:
1) если y = 0, тогда сумма цифр равна x + 13 и она будет делиться на 9, если x будет равен 5, искомое число: 51750;
2) если y = 2, тогда сумма цифр равна x + 15 и она будет делиться на 9, если x будет равен 3, искомое число: 51732;
3) если y = 4, тогда сумма цифр равна x + 17 и она будет делиться на 9, если x будет равен 1, искомое число: 51714;
4) если y = 6, тогда сумма цифр равна x + 19 и она будет делиться на 9, если x будет равен 8, искомое число: 51786;
5) если y = 8, тогда сумма цифр равна x + 21 и она будет делиться на 9, если x будет равен 6, искомое число: 51768.
Ответ: 51750, 51732, 51714, 51786, 51768.