4) Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение:

y = f(x),

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)).

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x₀ соответствуют несколько значений (а не одно) y, то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции.

1. аналитический способ (с помощью математической формулы);

2. табличный способ (с помощью таблицы);

3. описательный способ (с помощью словесного описания);

4. графический способ (с помощью графика).

5) Основные характеристики функции (монотонность, четность-нечетность, периодичность).

1.Четность и нечетность. y = f (x) четная, если f (-x)=f (x) и нечетная, если f (-x)=- f (x).

2.

Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. 3.Ограниченность. Функция называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что | f (x)| ≤ М для любого х є Х. 4.Периодичность. Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T - это период функции.

6) Обратная функция, сложная функция .

Пусть функция строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения , область значений этой функции , тогда на интервале определена непрерывная строго монотонная функция с областью значений , которая является обратной для . Функции f и g называют взаимно обратными.

Свойства взаимно обратных функций и :

• и .

• Из первого свойства видно, что область определения функции совпадает с областью значений функции и наоборот.

• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

• Если возрастает, то и возрастает, если убывает, то и убывает.

Сложная функция - это функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = h(х), то у - cложная функция от х, то есть y = f (h(x)), определённой для тех значений х, для которых значения h(х) входят в множество определения функции f (u). Y является cложная функция независимого аргумента х, а u - промежуточным аргументом. Например, если у = u², u = sinx, то у = sin²х для всех значений х.

7)Основные элементарные функции и их графики. Степенные функции.

Степенная функция y = x ^α , α ∈ R .

8) Основные элементарные функции и их графики. Показательные функции.

Показательная функция y = α^x, a>0

9) Основные элементарные функции и их графики. Логарифмические функции.

Логарифмическая функция y = log_ax, a> 0

10) Основные элементарные функции и их графики. Тригонометрические функции

Тригонометрические функции y = sinx, y = cosx,

y = tgx, y = ctgx

11) Основные элементарные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

y = arcsinx, D (f) = [-1; 1], E (f) = ;

y = arccos x, D (f ) = [- 1; l], E (f) = ;

y = arctg x, D (f) = R, E (f) = ;

y = arcctg x, D (f) = R, E (f) =

12) Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров x₁,x₂,...x_n Числа x₁,x₂,...,x_n — называются элементами последовательности, символ x_n — общим элементом, а число n — его номером. Сокращенно последовательность обозначается символом {x_n}.

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого ε > 0 найдется номер n₀ = n₀(ε) ∈ N такой, что для всех номеров n > n₀ выполняется неравенство |x_n — a| <ε

Последовательность {x_n}, имеющая конечный предел а, называется сходящейся. Последовательность, имеющая бесконечный предел или вообще не имеющая предела, называется расходящейся.