4. Построение гистограммы плотностей относительных частот
Гистограмма относительных частот – это фигура, состоящая из m прямоугольников, опирающихся на интервалы группировки.
Гистограмма
(По данным таблицы 1 (столбцы 2, 5) строим гистограмму)
По виду гистограммы мы подбираем соответствующий для данного случая теоретический закон распределения:
сравниваем гистограмму с теоретическими кривыми основных законов распределения случайной величины Х (нормальный, показательный, равномерный);
определяем параметры и числовые характеристики выбранного нами закона.
Выдвигаем гипотезу о законе распределения с.в. Х:
По виду гистограммы можно выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины Х.
5. Оценки числовых характеристик и параметров выдвинутого закона
Заполняем столбцы 6-8 Таблицы 1.
Каждый закон распределения характеризуется своими параметрами (см. таблицу основных законов распределения.). Параметры закона распределения - постоянные величины, которые можно оценить по выборочным данным. Оценка генерального параметра, выражаемая одним числом, называется точечной.
Точечной оценкой
генеральной средней является выборочное
среднее
.
Выборочным средним называется среднее
арифметическое значение признака
выборочной совокупности.
-
середины соответствующих интервалов
Исправленной
выборочной дисперсией
называется случайной величиой.
(несмещенная состоятельная оценка дисперсии)
Точечной оценкой
среднего квадратического отклонения
является исправленное выборочное
среднее квадратическое отклонение
.
.
Производим расчет параметров (столбцы 6-8)
= 1010,05 / 52 = 19,424
= 35,185 / 52 = 0,677
35,185
/ 51 = 0,69
= 0,831
Основными параметрами генеральной совокупности выдвинутого нами закона являются (см. таблицу основных законов распределения. Для каждого закона существуют свои параметры):
I) Случай гипотезы о нормальном законе распределения
Пусть рассматриваемая
нами с.в. Х распределена по нормальному
закону, тогда основными параметрами
данного закона будут математическое
ожидание (генеральная средняя) (
)
и среднее квадратическое отклонение
.
Следовательно,
оценками параметров
и
нормального закона будут:
и
.
Таким образом,
19,424 и
0,831.
II) Случай гипотезы о показательном законе распределения
Оценки параметра
показательного закона распределения
будет:
.
Для нашего расчета
0,051.
III) Случай гипотезы о равномерном законе распределения
Параметрами
равномерного закона распределения
являются концы интервала a
и
b.
Тогда решая
систему уравнений
относительно a
и
b,
находим оценки
:
,
.
Для нашего расчета
17,985,
20,863.
6. Теоретическая функция плотности выдвинутого закона распределения
С.в. Х распределена по нормальному (показательному, равномерному) закону, если она определена на всей числовой оси и имеет плотность. (выбираем свой вариант закона).
Плотность вероятности
определяется по формуле (выписываем
формулу плотности вероятности для
своего соответствующего закона, см.
Таблицу «Законы распределения с.в. Х»):
График плотности (нормального, показательного, равномерного) распределения имеет вид: (рисуем график плотности соответствующего закона распределения).
Свойства (перечисляем 4 основные свойства функции плотности):
1. Всегда f(x)≥0, так как функция F(x) является неубывающей функцией.
2. Для функции распределения F(x) справедливо равенство:
F(x)=-∞∫xf(t)dt.
Действительно, так как по определению f(x)=F'(x), то F(x) является первообразной функцией по отношению к плотности распределения f(x). Следовательно,
-∞∫∞f(t)dt=F(t)-∞ιx=F(x)-F(-∞)=F(x)-0=F(x.)
3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Α ; Β] равна:
P{Α≤X<Β}=Α∫βf(t)dt.
Действительно, в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница этот определенный интеграл равен F(Β)-F(Α). По 3-му свойству функции распределения вероятностей эта разность и представляет собой вероятность P{Α≤X<Β} .
4. Интеграл от плотности распределения вероятности по всей области задания случайной величины равен единице:
-∞∫∞f(t)dt=1
Найдем теоретическую функцию .
Таблица 2 (случай нормального закона).
i |
|
|
|
|
1 |
- 0,63 |
0,6729 |
0,2874 |
0,169 |
2 |
0,091 |
0,3973 |
0,3555 |
0,209 |
3 |
0,813 |
0,2874 |
0,3752 |
0,22 |
4 |
1,475 |
0,1354 |
0,3939 |
0,231 |
5 |
2,137 |
0,0404 |
0,3984 |
0,234 |
6 |
2,859 |
0,0067 |
0,3989 |
0,234 |
7 |
3,581 |
0,0007 |
0,3989 |
0,234 |
8 |
4,303 |
0,0001 |
0,3989 |
0,234 |
Таблица 2 (случай показательного закона).
i |
|
|
|
|
|
1 |
- 0,949 |
0,387 |
- 0,979 |
0,376 |
0,011 |
2 |
- 0,979 |
0,376 |
- 1,01 |
0,364 |
0,012 |
3 |
- 1,01 |
0,364 |
- 1,04 |
0,353 |
0,011 |
4 |
- 1,04 |
0,353 |
- 1,066 |
0,344 |
0,009 |
5 |
- 1,066 |
0,344 |
- 1,096 |
0,334 |
0,01 |
6 |
- 1,096 |
0,334 |
- 1,127 |
0,324 |
0,01 |
7 |
- 1,127 |
0,324 |
- 1,158 |
0,314 |
0,01 |
8 |
- 1,158 |
0,314 |
- 1,188 |
0,305 |
0,009 |
Таблица 2 (случай равномерного закона).
i |
|
|
|
1 |
18,6; 19,2 |
0,6 |
0,208 |
2 |
19,2; 19,8 |
0,6 |
0,208 |
3 |
19,8; 20,4 |
0,6 |
0,208 |
4 |
20,4; 20,9 |
0,5 |
0,173 |
5 |
20,9; 21,5 |
0,6 |
0,208 |
6 |
21,5; 22,1 |
0,6 |
0,208 |
7 |
22,1; 22,7 |
0,6 |
0,208 |
8 |
22,7; 23,3 |
0,6 |
0,208 |
= 1
/ (20,863 – 17,985) = 0,347,
где
.
;
;
.
теоретические
вероятности.
Результаты расчетов в таблицах 1-2 дают возможность построить на гистограмме выравнивающую кривую функции плотности.
(Далее строим
выравнивающую кривую функции плотности
(по точкам:
.