2. Исследование линейной импульсной системы автоматического управления

Таблица 2. Исходные данные.

Номер варианта	γ	Т	T1	τ1
20	0,8	0,1	0,1	0

Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, составляющая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью τ=γТ, где Т -период дискретизации,0≤γ≤1. Исходные данные для расчетов приведены в табл. 2. Для всех вариантов заданий передаточная функция непрерывной части имеет вид:

. (2.1)

Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией

(2.2)

Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 Т, Т₁, τ₁-постоянные времени имеют размерность секунды, К₀ - коэффициент передачиНЧ имеет размерность сек^-1и выбирается далее.

Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы

1. Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ W(z), представим в виде суммы двух слагаемых:

(2.3)

где , .

Таблица 2.1

Воспользуемся табл. 2.1, тогда:

, . (2.4)

Таким образом:

. (2.5)

Теперь воспользуемся формулой:

. (2.6)

Найдем:

. (2.7)

По таблицам Z–преобразования [6] находим:

, (2.8)

. (2.9)

Таким образом, имеем

, (2.10)

откуда находим при и при и подставляем их в [5, (1.18)]. После преобразований приходим к выражению [5, (1.19)]. Как и следовало ожидать, оба способа дали одинаковую передаточную функцию, которую можно записать и так

, (2.11)

где , , K = K0(τ1s + 1), α= 1/T1., , , , а коэффициенты и определенывыше.

Передаточные функции замкнутой системы легко находятся по выражениям

(2.12-2.13)

(2.14)

где

(2.15)

(2.16)

2.Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы , которое для нашего случая будет иметь вид:

a₀z²+(a₁+ c₀)z +a₂ +c₁= z²+b₁z + b₂=0.

В соответствии cалгебраическим критерием [6, с. 432] замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств:

В неравенстве при известных значениях γ, Т, τ₁, Т₁входит величина К₀. Таким образом, можно выделить отрезок значений К₀^’’<К₀<К₀^’при которых система будет устойчива и далее принять К₀=0,5К'₀. Условия устойчивости будут:

(2.17)

(2.18)

(2.19)

После преобразований и возврата к старым переменным получим:

Вычислим эти значения. Получим 0<К₀< . Таким образом, принимаем К₀=0.5K’₀=1,3773.

3. Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении W* (z) делаем замену переменной:

(2.20)

В результате этого получим частотную характеристику W_w^*(jω^*) и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику L^*(ω^*) = 20lg |W^*(jω^*)| и фазочастотную характеристикуφ^*(ω^*)=argW_w^*(jω^*), графики, которых строятся в логарифмическом масштабе.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

(2.21)

тогда можно воспользоваться следующей последовательностью команд Matlab:

T_s=T*γ

>>sys=tf([c0 c1],[a0 a1 a2],Ts)

Transfer function:

0.04809 z + 0.02155

----------------------

z^2 - 1.368 z + 0.3679

Sampling time: 0.08

>>sys_tr=d2c(sys,'tustin')

Transfer function:

-0.0097 s^2 - 0.3939 s + 15.91

------------------------------

s^2 + 11.55 s

Получаем выражение:

(2.22)

где параметры g и f видны из вышеприведенного выражения.

Рис.2.2