10. Перевод чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной сс в десятичную.

Перевод чисел в десятичную систему счисления.

Чтобы перевести число из любой системы счисления в десятичную систему счисления надо представить число в расширенной записи и сосчитать.

Перевод числа из двоичной системы в десятичную

3 2 1 0  11012 = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310

Перевод числа из восьмиричной системы в десятичную

2 1 0  1578 = 1*82 + 5*81 + 7*80 = 64 + 40 + 7 = 11110

Перевод числа из шестнадцатиричной системы в десятичную

2 1 0  1F3< SUB>16 = 1*162 + 15*161 + 3*160 = 49910

11. 12.13. Представим десятичное число в общем виде N,M, где N - целая часть числа, а М - его дробная часть. Для перевода десятичного числа в позиционную систему счисления с основанием р необходимо воспользоваться двумя правилами: одно определяет технологию перевода целой части числа, а другое - дробной части.

Правило перевода целой части числа состоит из следующих этапов:

- число N делится на новое основание р;

- полученный остаток запоминается или записывается (это будет цифра младшего разряда);

- целая часть полученного частного снова делится на р;

- опять запоминаем полученный остаток (это будет цифра следующего разряда) и т. д.

Такое последовательное деление продолжается до тех пор, пока целая часть частного не окажется меньше, чем основание системы счисления р. Эта последняя целая часть частного будет цифрой старшего разряда. Результат формируется путем последовательной записи слева направо цифры старшего разряда и всех записанных остатков в порядке, обратном их получению.

Правило перевода дробной части числа состоит из следующих этапов:

- дробная часть числа умножается на основание р;

- запоминается или записывается цифра результата, переносимая в целую часть;

- оставшаяся дробная часть числа умножается на основание р;

- снова фиксируется цифра результата, переносимая в целую часть, и т. д.

Такое последовательное умножение продолжается до тех пор, пока в дробной части не будет получен ноль или достигнута требуемая точность, например 5 знаков после запятой. Результат формируется в виде последовательной записи зафиксированных цифр переносов в целую часть в том порядке, в котором они были получены.

Пример:

1) Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Замечание: остаток 1110 записывается шестнадцатеричной цифрой B16.

Ответ: 7510=10010112=1138=4B16

14. Арифметические действия над числами в двоичной системы счислени

Сложение

Сложение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

В последнем случае, при сложении двух единиц, происходит переполнение младшего разряда, и единица переносится в старший разряд. Переполнение возникает в случае, если сумма равна основанию системы счисления (в данном случае это число 2) или больше его (для двоичной системы счисления это не актуально).

Сложим для примера два любых двоичных числа:

1101

+ 101

---------

10010

Вычитание

Вычитание одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

0 - 1 = (заем из старшего разряда) 1

1 - 1 = 0

Пример:

1110

- 101

----

1001

Умножение

Умножение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 * 0 = 0

1 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 1 = 1

Пример:

1110

* 10

---------

+ 0000

1110

---------

11100

Деление

Деление выполняется так же как в десятичной системе счисления:

1110 | 10

|----

10 | 111

----

11

10

----

10

10

----

0