3.Средние уровни и показатели динамики.

Для характеристики развития явления за весь анализируемый период определяют среднее значение (среднемесячное, среднеквартальное, среднегодовое и т.д.) следующих показателей:

1. Средний уровень интервального ряда динамики с равными интервалами определяется по формуле средней арифметической простой:

,

где - число уровней ряда.

2 Средний уровень интервального ряда динамики с неравными интервалами определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где - периоды времени между датами.

3 Средний уровень моментного ряда динамики определяется по формуле средней хронологической:

.

4. Средний абсолютный прирост определяется по формуле:

где у₀ и у_п – соответственно начальный и конечный уровни ряда.

5. Средний темп роста определяется:

.

Или, используется формула средней геометрической:

,

Где Т₁, Т₂,… Т_т –цепные темпы роста; т-число темпов.

6. Средний темп прироста:

.

Определим по данным таблицы 1среднегодовые показатели:

1) Среднегодовой уровень интервального ряда с равноотстоящими уровнями определяется по формуле:

2) Среднегодовой абсолютный прирост составит:

3) Среднегодовой темп роста будет равен:

.

4) Среднегодовой темп прироста:

%= 95,4 – 100= -4,6(%).

Таким образом, среднегодовой объем производства продукции в 2011-2015гг. составил 125,4 тонны. Ежегодно производство в среднем сокращалось на 6 тонн, или на 4,6%.

4.Выявление основной тенденции развития социально-экономических явлений

Для выявления основной тенденции, т.е. закономерности изменения уровней динамического ряда, используются различные способы выравнивания, или сглаживания уровней. Сущность различных приемов выравнивания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными, в меньшей степени подверженными случайным колебаниям.

Наиболее распространенными способами выравнивания являются:

1) Выравнивание на основе средних (среднемесячных, среднегодовых и др.) показателей динамики: абсолютного прироста, коэффициента роста.

Таблица 2 – Выравнивание динамики производства продукции по среднегодовым показателям

Годы	Произведено продукции, т	Выравненные уровни
		по ∆= - 6 (т)	по р=0,954
2011	140	140	140
2012	142	140-6=134	140٠0,954=133,56
2013	129	134-6=128	133,56٠0,954=127,42
2014	100	128-6=122	127,42٠0,954=121,56
2015	116	122-6=116	121,56٠0,954=115,97

Использование среднего абсолютного прироста для выравнивания предполагает, что развитие явления происходит в арифметической прогрессии. Использование среднего коэффициента роста соответственно предполагает наличие в развитии явления геометрической прогрессии.

2) Выравнивание способом укрупнения периодов заключается в выделении качественно различных периодов с последующей их характеристикой средними величинами.

Таблица 3 – Производство продукции по укрупненным периодам, тонн

Годы	Сумма за период	Среднегодовое производство
2011-2012	140+142=282	282:2=141
2013-2014	129+100=229	229:2=114,5
2015	116	116:1=116

По данным таблицы 3 можно сделать вывод о том, что в 2015г. объем производства продукции находится на уровне, примерно соответствующем среднегодовому уровню 2013-2014гг, и при этом он значительно отличается от аналогичного уровня в 2011-2012гг.

3)Выравнивание способом скользящей средней заключается в последовательном расчете средних уровней за периоды, сдвигаемые на одну дату.

Таблица 4 – Производство продукции по скользящим периодам, тонн

Годы	Произведено продукции	Скользящие суммы по трехлетиям	Трехлетняя скользящая средняя
2011	140	-	-
2012	142	140+142+129=411	411:3=137
2013	129	142+129+100=371	371:3=124
2014	100	129+100+116=345	345:3=115
2015	116	-	-

Наблюдается сокращение объемов производства с некоторым замедлением в последнем трехлетии.

Недостатком данного способа является укорачивание ряда: при трехлетнем периоде – на 2 уровня, при четырехлетнем – на 3 уровня и т.д.

4)Аналитическое выравнивание заключается в использовании математического уравнения, в среднем отражающего тенденцию изменения изучаемого явления во времени (тренд). Для выбора уравнения наиболее часто используется графический метод.

Если уровни ряда изменяются в среднем равномерно, используется уравнение прямой линии ( _t=а₀+а₁t), а если неравномерно – уравнения параболы _t=а₀+а₁t+ а₂t²), гиперболы ( _t=а₀+ ) и др. (Где _t – выравненные по уравнению уровни, t – порядковый номер периода, или момента).

Для определения параметров уравнения (а₀, а₁, а₂ и др.) необходимо

способом наименьших квадратов решить соответствующую систему уравнений.

Рисунок 1 – Динамика производства продукции предприятием

Предположив, что производство изменяется в среднем равномерно (рисунок 1), используем для выражения его динамики уравнение прямой линии: _t=а₀+а₁t.

Для определения параметров уравнения необходимо решить следующую систему уравнений:

,

где п – число наблюдений.

Таблица 5 - Выравнивание способом аналитического сглаживания

Годы	Произведено, тонн у	Порядковый номер года			Выравненное производство t=а0+а1t.	(у - t )2
2011	140	1	1	140	142,6	6,76
2012	142	2	4	284	134,0	64,0
2013	129	3	9	387	125,4	12,96
2014	100	4	16	400	116,8	282,24
2015	116	5	25	580	108,2	60,84
ИТОГО	627	15	55	1791	627	426,8

6 27= 5а₀ + 15а₁ :5

1791=15а₀+55а₁ :15

125,4= а₀ + 3а₁

119,4= а₀ + 3,7а₁

После вычитания из 2-го уравнения 1-го получаем:

-6= 0,7а₁

а₁= - 8,6

а₀= 125,4 + 3٠8,6= 151,2

Таким образом, уравнение, которое может быть использовано для выражения динамики производства продукции, будет иметь вид:

_t=151,2 – 8,6t

Подставляя вместо t порядковый номер того или иного года получаем выравненные уровни, представленные в таблице 5.

₂₀₁₁=151,2 – 8,6٠1= 142,6

₂₀₁₂=151,2 – 8,6٠2= 134,0 и т.д.

Следует обратить внимание на равенство сумм уровней исходного и выравненного по уравнению ряда динамики.

Для оценки степени приближения выравненных уровней к исходным определяют величину остаточного среднего квадратического отклонения.

Следовательно, выравненные уровни отклоняются от исходных в среднем на 9,2 тонны, что составляет 7,3% относительно среднего уровня ряда, равного 125,4 тонны (627:5=125,4).

При выравнивании предпочтение отдается уравнению, при выравнивании по которому остаточное среднее квадратическое отклонения имеет минимальное значение.

Полученное уравнение может быть использовано для определения прогнозного уровня показателя, т.е. для экстраполяции.

₂₀₁₂=151,2 – 8,6٠6= 99,6 (тонн)

Расчет ошибки прогноза производится по формуле

,

где t - коэффициент доверия, определяемый заданным уровнем вероятности суждения. Наиболее часто при прогнозировании, или экстраполяции, используется уровень вероятности суждения 0,954, при котором ошибка прогноза не превысит 4,6%, а табличное значение коэффициента доверия равно 2. Величина дисперсии определяется:

,

где р- число параметров уравнения.

٠

Таким образом, с заданной вероятностью производство продукции в 2016 году может составить от 99,6 - 10,7= 88,9 (тонн) до 99,7 + 10,7 = 110,4 (тонн).