1Ая краевая задача, или задача Дирихле для уравнения Пуассона
, ставится след. Образом:
Найти функцию u=u(x,y),
удовлетворяющую внутри некоторой обл
G уравнению, а на границе
Г – условию
,
ф – заданная непрерывная функция.
Выбрав шаг h, строим сетку и заменяем в каждом внутреннем узле производные на конечно разностные отношения, а уравнение – конечно разностным уравнением:
,
где
Таким образом, для уравнения Пуассона получим след. Конечно разностное уравнение:
Метод сеток для уравнения параболического типа.
Найти
функцию, удовлетворяющую уравнению
,
.
Построим
в полуполосе T=>0, 0=<x=<S
два семейства параллельных прямых:
х=ih, t=jl.
Приближенно заменяем в каждом внутреннем узле (xi,ti) производную разностным отношением,
А производную du/dt одним из двух разностных отношений (для явной и неявной схемы)
Тогда для исходного уравнения получаем 2 типа конечно-разностных уравнений:
и
.
Введём
величину «сигма»
и получим ур-ния:
При выборе числа сигма, 2 обстоятельства:
Погрешность замены диф. Уравнения разностным должна быть наименьшей
Разностное уравнение должно быть устойчивым. Доказано, что верхнее ур-ние будет устойчивым при сигме >0 и меньшем ½<, а нижнее – при любом сигме. Наиболее удобно – сигма = ½ и при 1/6
Метод сеток для уравнине гиперболического типа.
Найти
функцию u(x,t),
удовлетворяющую уравнению
,
,
.
Построим в полуполосе T=>0, 0=<x=<S два семейства параллельных прямых: х=ih, t=jl.
Заменяем
производные в уравнении разностными
отношениями :
Введём
величину
и перепишем уравнение:
Доказано,
что при
=<1
уравнение устойчиво
В частности,
при
=1
уравнение имеет наиболее простой вид:
Отметим, что для получения уравнения была использована крестообразная схема узлов, явного типа. Уравнение позволяет найти значения функции на слое tj+1, если известны значения на 2х предыдущих слоях. Для того чтобы найти приближенное решение задачи необходимо знать значения решениях на 2х начальных слоях. Их можно найти из начальных условий одним из след. Способов:
Замена в начальном условии производной, конечно разностным отношением:
Если функция имеет конечную 2ую производную, то значения
можно определить с помощью формулы
Тейлора:
Используя начальные условия, можно определить значение u на фиктивном слое с номер j=-1. Для этого надо заменить производную во втором начальном условии конечно-разностным отношением:
Таким
образом, окончательно получаем :
По этой формуле находим все решения и записываем во вторую строчку таблицы.
Вычисляем след. Значения по формуле: .
Заполняем таблицу до конца.
Задачи математической статистики.
Математической статистикой называют раздел математики, занимающийся разработкой методлов получения, описания, обработки и анализа опытных данных с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений, получаемых в результате наблюдений или эксперимента.
К типичным задачам мат. Статистики относятся:
Оценка закона распределения случайной величины Х на основе наблюдаемых данных.
Оценка неизвестных параметров известного закона распределения случайной величины Х. Различают точечные и интервальные оценки для больших и малых выборок, соответственно. Наиболее известные методы получения точечных оценок: метод моментов и метод наибольшего правдоподобия
Проверка статистических гипотез. Проверяется совместность выдвинутой гипотезы с наблюдаемыми данными. Гипотезы могут быть как о параметрах известного распределения, так и о виде неизвестного распределения.