36.) Ряды с членами произвольного знака.

Понятие:

Под знакочередующимся рядом понимается ряд в котором члены попеременно то-положительные, то отрицательные.

U₁+U₂+U₃+U₄ +…+(-1)^n-1 U₂+U_n>0

Теорема.

Признак Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U₁>U₂…>U_n и предел его общего члена, при n→∞=0, т.е. lin _n→∞ U_n=0, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, S≤U₁

Следствие:

Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося, знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого члена.

37) Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

Опр.

Ряд вида: С₀+С₁х+…+С_nХ_n+… называется степенным, а числа С₀,С₁…С_n…- коэффициенты степенного ряда. Совокупность тех значений х, при которых степенной сходится называется областью сходимости степенного ряда. Структура сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля.

1. Если степенной ряд сходится при значении х=х₀неравно0, то он сходится и при том абсолютно при всех значениях х, таких, что |х|<|x₀|.

2. Если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при всех значениях х, таких, что |х|>|x₁|. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R≥0, что при |х|<R, ряд сходится, а при |х|>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал –(-R;R) – интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание.

Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку. (х=0). А у других охватывает всю ось Ох.

Сво-ва степенных рядов.

Пусть Фун-я f(x) является суммой степенного ряда f(x)=∑^∞_n=0 С_nxⁿ. Степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы (многочлены):

На любом отрезке АВ целиком принадлежащем интервалу от –R до R фун-я F(x) является не прерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке. Кроме того в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать. f(x)=C₁+2C₂x+ 3C₃x²+nC_nX^n-1+…при этом после интегрирования или дифференцирования имеют тот-же радиус сходимости R.

38) Ряд Маклорена.

f(x) = f(0)+ (f’(0)/1’)x + (f’’(0)/2’)x² +(f’’’(0)/3’)x³ + (fⁿ(0)/n’)xⁿ

Данный ряд называется рядом Маклорена.

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд маклорена, может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для Функции f(x) является расходящимся либо сходящимся. Так же как и для числовых рядов сумму f(x) ряда Маклорена можно представить в виде: f(x)=S_n(x)+r_n(x), где S_n n-ная частичная сумма рядов r_n(x), n-ный остаток ряда, тогда на основании свойства сходящихся элементов можно сформулировать теорему:

Для того, что бы ряд Маклорена сходился к функции f(x) необходимо и достаточно что бы при n→∞ остатор ряда →0

lim_n→∞ r_n(x)=0 для всех значений х из интервала сходимости ряда.

Замечание.

Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора.