2. Координатный способ описания движения. Модули вектора мгновенной скорости и вектора мгновенного ускорения.

К оординатный способ описания движения – описание изменения во времени координат точки в выбранной системе отсчета.

При координатном способе положение точки в пространстве задается тремя координатами. Выбор системы координат зависит от конкретной задачи. Можно работать в декартовой (прямоугольной) системе, иногда удобнее бывает сферическая или цилиндрическая системы координат. В декартовой системе координат положение точки определяется тройкой чисел (x,y,z) — ее декартовыми координатами. Чтобы задать закон движения точки, необходимо знать значения ее координат в каждый момент времени. Закон движения в координатном виде в общем случае представляет собой систему трех уравнений:

Между векторным и координатным способом описания движения существует непосредственная связь, а именно: числовые значения проекций радиус-вектора движущейся точки на координатные оси системы с тем же началом отсчета равны координатам точки: ;

Модуль вектора мгновенной скорости определяется следующим образом:

Модуль вектора ускорения вычисляется следующим образом:

3. Ускорение полное, нормальное, тангенциальное. Путь, пройденный частицей. Радиус кривизны траектории.

Т ангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Направление вектора тангенциального ускорения совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой _n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой: или (согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

4. Кинематика вращательного движения. Вектор углового перемещения. Угловые и линейные характеристики движение (угловая скорость, у гловое ускорение, линейная скорость, линейное ускорение), связь между ними.

Как уже отмечалось, вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка А движется по окружности радиуса R. Ее положение через промежуток времени Δt зададим углом Δφ. 

Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта: = Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с). Таким образом, вектор ω определяет направление и быстроту вращения. Если ω=const, то вращение называется равномерным. Угловая скорость может быть связана с линейной скоростью υ произвольной точки А. Пусть за время Δt точка проходит по дуге окружности длину пути Δs. Тогда линейная скорость точки будет равна: . При равномерном вращении его можно охарактеризовать периодом вращения Т – временем, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π: . Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения: откуда Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: = .       При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора угловой скорости; при ускоренном движении вектор ε направлен в ту же сторону, что и ω (dω/dt > 0), и в противоположную сторону при замедленном вращении (dω/dt < 0).       Выразим тангенциальную и нормальную составляющие ускорения точки A вращающегося тела через угловую скорость и угловое ускорение:

;       В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε=const): , , где ω₀ - начальная угловая скорость.       Поступательное и вращательное движения твердого тела являются лишь простейшими типами его движения. В общем случае движение твердого тела может быть весьма сложным. Однако в теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно представить, как совокупность поступательного и вращательного движений.

Вектор углового перемещения

П оворот тела на некоторый угол φ (угловое перемещение) можно задать в виде отрезка, длина которого равна абсолютной величине φ (в радианах), а направление совпадает с осью вращения. Обычно это направление связывают с правилом правого винта. Таким образом, повороту (угловому перемещению) j можно задать численное значение и направление. Однако этого еще недостаточно, чтобы угловое перемещение считать вектором. Необходимо, чтобы изображаемые таким образом повороты складывались по правилу сложения векторов, т.е. геометрически, что характерно для точных векторов. Если поворот dφ бесконечно мал (dφ << 2π), то операция геометрического сложения угловых перемещений выполняется. Следовательно, малые повороты (угловые перемещения) можно рассматривать как векторы , у которых абсолютное значение равно углу поворота в радианах. Векторы тип , направление которых связывается с направлением оси вращения, называют аксиальными или псевдовекторами, в отличие от векторов которые называют полярными. Их направление вытекает естественным образом из природы самих величин.

Характеристики вращательного движения: 

• угловой закон движения

• Угловой скоростью называют векторную величину, характеризующую быстроту вращения твердого тела, определяемую как приращение угла поворота тела за промежуток времени. Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени Δt → 0, за который твердое тело совершает поворот на бесконечно малый угол Δα вокруг мгновенной оси Ω. Предел, к которому стремится отношение  Δα / Δt, называется угловой скоростью твердого тела в рассматриваемый момент времени Угловая скорость является векторной величиной. Вектор угловой скорости ω может быть приложен к любой точке мгновенной оси и направлен в каждый момент времени по мгновенной оси Ω, так, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела происходящим против движения часовой стрелки. Угловая скорость вращения тела — векторная величина.     .

• У гловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: = . При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор  сонаправлен вектору , при замедленном.— противонаправлен ему.

• Связь угловых и линейных характеристик  Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение а, нормальное ускорение аn) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость (о, угловое ускорение ) выражается следующими формулами: В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const)

• М омент инерции  — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м². 

• Момент импульса L материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса: L= r x p , где r — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, p — импульс частицы. Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов: , где   — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как  где   — импульс бесконечно малого точечного элемента системы). В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с. Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется: .