25.Анализ устойчивости оптимального решения по отношению к ценовой политике предприятия (пояснить на примере отчета ms Excel).

Анализ устойчивости оптимального решения. Основные исходные данные рассматриваемой задачи - это запасы ресурсов (bi, где i = 1, ., m) и величина прибыли на одну единицу выпускаемой продукции (Cj, где j = 1, ., n). Исследовать устойчивость - значит определить пределы изменения исходных данных, при которых не изменяется решение или же его структура. Отчет Excel по устойчивости дает допустимое увеличение и допустимое уменьшение по целевому коэффициенту Cj, при которых решение задачи остается прежним. Кроме того, в отчете по устойчивости приведены пределы увеличения и уменьшения правых частей ограничений bi, при которых прежней остается структура решения. Под неизменностью структуры решения понимается следующее: те ресурсы, которые были дефицитными в исходном решении, остаются дефицитными и в новом оптимальном решении, хотя само решение (количество выпускаемых изделий) и значение целевой функции могут изменяться.

Постановка задачи

Производственно-коммерческая фирма «Альтаир» осуществляет сборку трех видов изделий, располагая при этом комплектующими 4 типов А, Б, В и Г, соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 тыс. шт. Нормы затрат каждого вида комплектующих на 1 ед. изделия первого вида составляет соответственно 1, 2, 1, 0 тыс. шт.; второго вида - 2, 1, 1, 1 и третьего вида - 1, 1, 0, 1 тыс. шт. Прибыль от реализации 1 ед. изделия первого вида равно 3 тыс. у.е., второго - 4 тыс. у.е., третьего - 2 тыс. у.е.

Необходимо составить план производства трех видов изделий, максимизирующего прибыль.

В курсовой работе требуется:

1) Построить математическую модель задачи определения оптимального плана выпуска продукции, привести ее к канонической форме.

) Построить математическую модель двойственной задачи и привести ее ограничения к виду равенства.

) Решить исходную задачу с помощью надстройки MS Excel “Поиск решения” и получить отчеты по устойчивости и по результатам.

) На основе анализа этих отчетов выписать оптимальные значения основных и дополнительных переменных исходной и двойственной задач и ответить на вопросы:

1. Какие виды изделий и в каком количестве необходимо собирать фирме? Какой величины прибыль будет иметь ПКФ «Альтаир» при таком плане производства?

2. Определите дефицитность комплектующих изделий.

. Какой из вариантов окажет большее влияние на изменение размера максимальной прибыли: а) закупить дополнительно 6 тыс.шт. комплектующих типа А; б) закупить дополнительно 3 тыс. шт. комплектующих типа Б; в) закупить дополнительно 2 тыс. ед. комплектующих типа В; или г) закупить дополнительно 2 тыс. ед. комплектующих типа Г?

. Фирме предлагают начать сборку нового (четвертого) вида изделия, нормы затрат на 1 ед. которого равны соответственно 1, 2, 2, 0 тыс. шт. комплектующих типа А, Б, В и Г, а прибыль составляет 15 тыс. у.е. за единицу. Целесообразно ли введение в план производства фирмы этого изделия?

. Цены на изделия фирмы могут колебаться в течение отчетного периода в связи с изменением спроса на рынке. Как повлияет на прибыль снижение цены на изделие первого вида на 0,5 тыс. у.е?

. Математическая модель задачи

Составим математическую модель задачи.

Количество изделия I обозначим х1, II - х2, III - х3.

Доход от реализации изделия I составляет 3x1 тыс. усл. ед., изделия II 4x2 тыс. усл. ед., товара III - 2x3 тыс. усл. ед., общий доход - соответственно:

= 3x1 + 4x2+ 2x3.

Поскольку предприятию нужно получить наибольшую прибыль, то ставится задача максимизации целевой функции

= 3x1 + 4x2+ 2x3® max.

Количество комплектующего ограничено 18 тыс.шт., при этом их расходуется на производство изделия I -1x1, на производство изделия II - 2x2, на производство изделия III - 1x3. Поскольку количество израсходованного комплектующего не должно превышать его запаса, можно записать следующее ограничение:

Запись {£, =, ³} в ограничениях означает, что возможен один из знаков (£, = или ³).

Решение Х = (х1, х2, …, хn), при котором выполняются все ограничения, называется допустимым. Допустимое решение, при котором функция F принимает оптимальное значение (максимум или минимум), называется оптимальным.

Оптимальное распределение ресурсов. Анализ отчетов

Рассмотрим задачу планирования производства продукции при ограничениях на ресурсы.

Постановка задачи. Для производства продукции n типов требуются ресурсы m видов. Нормы расхода ресурсов на производство одной единицы продукции каждого типа заданы матрицей {aij}, где aij - количество ресурса i-го вида, необходимое для производства одной единицы продукции j-го типа. Известно количество ресурсов (bi, где i = 1, ., m) каждого вида, которое имеется в наличии у предприятия. Известны также величины прибыли (Сj), которую получит предприятие при реализации одной единицы продукции j-го типа. Требуется найти оптимальный план производства продукции, т. е. количество продукции каждого типа, которое нужно произвести, чтобы получить наибольшую прибыль.

Обозначим через xj количество продукции j-го типа, которое планируется выпустить (j = 1, ., n). Тогда математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

Целевая функция задачи представляет собой общую прибыль от производства всей продукции. Ограничения выражают условие, при котором потребление ресурса i-го вида не должно превышать запаса этого ресурса (bi). Условия неотрицательности переменных вытекают из смысла переменной xj: количество продукции не может быть отрицательным.

Канонической называется следующая форма записи ЗЛП:

Чтобы привести к виду равенства ограничение вида

,

в левую часть неравенства прибавляют дополнительную переменную:

.

Аналогично, чтобы привести к каноническому виду ограничение вида

,

из левой части неравенства вычитают дополнительную переменную:

.

Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с коэффициентами, равными 0:

.

Таким образом, задача может быть записана в следующем каноническом виде:

Экономический смысл переменных yi (i = 1, …, m) следующий: это остатки ресурсов каждого вида. Если при оптимальном решении какой-либо ресурс будет использован полностью, то ограничение исходной задачи (13) будет выполнено в виде равенства, а yi = 0. Такое ограничение в отчетах Exсel называется связанным.

Двойственность в линейном программировании

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальная задача при этом называется исходной, или прямой. Связь этих задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Рассмотрим двойственную задачу, связанную с рассматриваемой нами задачей планирования производства продукции.