1.6. Нормальные формы логических уравнений.

Преобразование логических уравнений

к заданному базису

Если при проектировании логических схем предъявляется требование получения максимального быстродействия, логическая схема строится на основе представления ПФ в нормальной алгебраической форме.

В сего существует 8 нормальных форм представления ПФ. Получим их на примере проектирования мажоритарной логической схемы (мажоритарного элементы) “2 из 3”, пронумеруем и дадим символьное обозначение путем указания операций первого и второго этапов логического преобразования.

Таблица истинности для мажоритарного элемента приведена в табл.2, карта Карно на рис.5. МДНФ для этой функции является первой нормальной формой. Следующие три нормальных формы получим путем последовательного преобразования МДНФ с применением тождеств двойной инверсии и теоремы де-Моргана. МКНФ – пятая нормальная форма, остальные получены путем ее преобразования.

= 1) И / ИЛИ

= 2) И-НЕ / И-НЕ

= 3) ИЛИ / И-НЕ

. 4) ИЛИ-НЕ / ИЛИ

5) ИЛИ / И

= =

= = 6) ИЛИ-НЕ / ИЛИ-НЕ

= = 7) И / ИЛИ-НЕ

= . 8) И-НЕ / И

При проектировании логических схем в зависимости от наличия определенного типа элементов (базиса) используется соответствующая нормальная форма.

1.7. Скобочные формы логических уравнений

Для аналитического представления переключательных функций можно использовать не только нормальные формы, но и так называемые скобочные формы представления функций. Скобочные формы получаются путем тождественных преобразований МДНФ (МКНФ) с использованием скобок, изменяющих порядок (последовательность) логических преобразований. При вынесении общих членов за скобки порядок функции увеличивается.

В практике проектирования логических схем к скобочным формам приходится обращаться в двух случаях: а) когда необходимо уменьшить аппаратные затраты и стоимость при реализации схем на логических элементах; б) когда число переменных и термов велико и реализация функций на основании МДНФ (МКНФ) с использованием стандартных логических элементов (с стандартным числом входов) невозможна.

На рис.6,а представлена карта Карно логической функции, МДНФ которой

y = x₃ x₂ x₁ x₃ x₂ x₀ x₃ x₁ x₀ . (8)

Этой функции соответствует логическая схема второго порядка, показанная на рис.6,б. На основании законов дистрибутивности функцию (8) можно представить в форме

y = x₃ [ x₂ ( x₁ x₀ ) x₁ x₀ ], (9)

которой соответствует схема на рис.6,в. В этой схеме максимальное

число последовательно включенных логических элементов равно четырем, т.е. логическая схема имеет четвертый порядок. Каждый логический элемент имеет конечное быстродействие, которое характеризуется задержкой распространения сигналов от входа к выходу. Чем выше порядок логической схемы, тем больше задержка сигналов, тем ниже быстродействие схемы. Это недостаток логических схем, реализованных на основе скобочных форм ПФ.

Положительное свойство таких схем – меньшая сложность (аппаратные затраты) и стоимость.

Существует несколько способов оценки сложности логических схем: сложность по Квайну, определяемая как суммарное число входов всех логических элементов; сложность, как число логических элементов; сложность как число условных стандартных корпусов микросхем.

Так, суммарное число входов логической схемы четвертого порядка (рис.6,в) равно 10, а логической схемы второго порядка (рис.6,б) – 12.

В общем случае быстродействие и сложность схемы (стоимость) жестко связаны, при проектировании логических схем можно “обменять” быстродействие на стоимость и наоборот.

Второй пример необходимости использования скобочной формы ПФ рассмотрим на примере проектирования мажоритарного элемента “2 из 3” в двух вариантах: когда допустимо использовать логические элементы И-НЕ с любым необходимым числом входов и когда можно использовать только 2-входовые логические элементы И-НЕ.

В минимальной ДНФ логическая функция мажоритарного элемента в базисе И-НЕ имеет вид

y = . (10)

Этому уравнению соответствует логическая схема второго порядка рис.7,а, в которой используются 2- и 3-входовые элементы И-НЕ.

Если для реализации схемы разрешается использовать только 2-входовые элементы И-НЕ, то уравнение (10) преобразуется в скобочную форму

y = , (11)

которому соответствует логическая схема четвертого порядка рис.7,б, ко-

торая хуже схемы рис.7,а по характеристикам быстродействия и сложности. Ухудшение характеристик оправдывается только возможностью реализации схемы на заданных стандартных элементах.

Упражнения

31. Для каждой логической функции четырех переменных, заданной в МДНФ, найти возможную ненормальную (скобочную) форму. Сопоставить аппаратные затраты при реализации функции в МДНФ и в скобочной форме:

а) y = x₃ x₂ x₀ x₃ x₁ x₀ ;

б) y = ;

в) y = x₃ x₂ x₀ x₃ x₂ x₁ x₃ x₁ x₀ x₂ x₁ x₀ ;

г) y =

32. Задана логическая функция y = x₃ x₂ x₀ x₃ x₁ x₀ . Определить порядок логической схемы, реализующей данную функцию, и оценить сложность схем при использовании:

а) нормальной формы логического уравнения И / ИЛИ;

б) двухвходовых элементов И, ИЛИ;

в) нормальной формы логического уравнения И-НЕ / И-НЕ;

г) двухвходовых элементов И-НЕ;

д) нормальной формы логического уравнения ИЛИ-НЕ / ИЛИ-НЕ;

е) двухвходовых элементов ИЛИ-НЕ.