Розв’язання:

1. Викреслюємо таблицю, де заносимо вихідні дані і порядок врівноваження геодезичного чотирикутника ( табл.2 ).

Таблиця 2. Алгоритм врівноваження геодезичного чотирикутника

№	Виміряні кути	Первинні поправки			Первинно виправлені кути (″ )	Вторинні поправки (″ )	Врівноважені кути
		І ″	ІІ ″	І+ІІ ″
1	2	3	4	5	6	7	8
1.	28˚59′35,816″	–1,916	3,219	1,303	37,119	1,283	28˚59′38,402″
2.	47˚02′03,960″	–1,916	3,219	1,303	05,263	– 1,283	47˚02′03,980″
3.	66˚34′59,298″	–1,916	1,122	–0,794	58,504	0,817	66˚34′59,321″
4.	37˚23′19,907″	–1,916	1,122	–0,794	19,113	– 0,817	37˚23′18,296″
5.	29˚22′38,509″	–1,916	–3,219	–5,135	33,374	1,276	29˚22′34,650″
6.	46˚39′14,142″	–1,916	–3,219	–5,135	09,007	–1,276	46˚39′07,731″
7.	65˚54′49,836″	–1,916	–1,122	–3,038	46,798	0,808	65˚54′47,606″
8.	38˚03′33,856″	–1,916	–1,122	–3,038	30,818	– 0,808	38˚03′30,010″

2. Визначаємо первинні поправки

2.1. Визначаємо нев’язки із умови фігури і сум кутів протилежних трикутників:

ω₁ = ∑( α_r + β_r ) – 360° =360˚00′15,324″– 360° = +15,324″;

ω₂ = ∑( α₁ + β₁ ) – (α₃ + β₃ ) = ( 28˚59′35,816″+ 47˚02′03,960″) – (29˚22′38,509″+

+ 46˚39′14,142″) = –12,875″;

ω₃ = ∑( α₂+ β₂ ) – (α₄+ β₄ ) = ( 66˚34′59,298″+ 37˚23′19,907″) – (65˚54′49,836″+

+ 38˚03′33,856″) = –4,487″;

2.2. Визначаємо перші поправки, які дорівнюють величині нев’язки з умови фігури з протилежним знаком розділеним на кількість кутів фігури:

( V_αr )_І = ( V_βr )_І = – ω₁ : 8 = –15,324 : 8 = –1,916″

Дані заносимо в графу 3 табл.2.

2.3. Визначаємо другі поправки із умови сум кутів протилежних трикутників:

( V_α1 )_ІІ = ( V_β1 )_ІІ = ( V₁ )_ІІ = ( V₂ )_ІІ = – ω₂ : 4 = –( –12,875) : 4 = 3,219″;

( V₃ )_ІІ = ( V₄ )_ІІ = – ω₃ : 4 = –( –4,487 ) : 4 =1,122″;

( V₅ )_ІІ = ( V₆ )_ІІ = + ω₂ : 4 = ( –12,875) : 4 = –3,219″;

( V₇ )_ІІ = ( V₈ )_ІІ = – ω₃ : 4 = +( –4,487 ) : 4 = –1,122″.

Дані заносимо в графу 4 табл.2

2.4. Визначаємо первинні поправки. Для цього сумуємо першу і другу поправку. Дані заносимо в графу 5 табл.2: V′ = ( V )_І + ( V )_ІІ.

3. Визначаємо вторинні поправки із полюсної умови:

3.1. Виправляємо виміряні кути на первинну поправку. Дані заносимо в графу 6 табл. 2.

3.2. Визначаємо полюсну нев’язку за первинно виправленими кутами:

ω′_п =[ ( Д sinα′_r : Д sinβ′_r ) – 1] х ρ = [ ( sin1′ х sin3′ х sin5′ х sin7′ ) :

: ( sin2′ х sin4′ х sin6′ х sin8′ ) – 1 ] х ρ;

ρ = 206264,8″; Д sinα′_r, Д sinβ′_r - добуток синусів.

Для полегшення обрахунків викреслюємо таблицю 3:

Таблиця 2. Визначення вторинних поправок

№	Чисельник (αr )		№	Знаменник ( βr )		Поправки
	sinα′r	ctgα′r		sinβ′r	ctgβ′r	(α′r+ β′r )	(α′r+β′r )2	(Vαr)″	(Vβr) ″
1.	0,484712595	1,804	2.	0,731767739	0,931	2,735	7,480	1,283	– 1,283
3.	0,917636178	0,433	4.	0,607218354	1,309	1,742	3,034	0,817	– 0,817
5.	0,490537822	1,776	6.	0,727203966	0,944	2,720	7,398	1,276	– 1,276
7.	0,912926797	0,447	8.	0,616466559	1,277	1,724	2,972	0,808	– 0,808

Д = 0,199188053 Д = 0,199197512 ∑ = 20,884

ω′_п = [(0,199188053 : 0,199197512 ) – 1 ] х 206264,8 = – 9,796″.

3.3. Визначаємо полюсну корелату за формулою :

к_п = – ω′_п : ∑ (α′_r+ β′_r )² = – (–9,796 ) : 20,884 = + 0,469.

3.4. Визначаємо вторинні поправки:

(V_αr)″ = – (V_βr)″ = к_п х (α′_r+ β′_r );

(V_α1)″ = – (V_β1) ″ = к_п х (α′₁+ β′₁ ) = + 0,469 х 2,735 = + 1,283″;

(V_α2)″ = – (V_β2) ″ = к_п х (α′₂+ β′₂) = + 0,469 х 1,742 = +0,817″;

(V_α3)″ = – (V_β3) ″ = к_п х (α′₃+ β′₃) = + 0,469 х 2,720 = +1,276″;

(V_α4)″ = – (V_β4) ″ = к_п х (α′₄+ β′₄ ) = + 0,469 х 1,724 = +0,808″.

Дані заносимо в графу 7 табл.2.

4. Вводимо вторинні поправки в первинно виправлені кути, одержуємо врівноважені кути, які заносимо в графу 8 табл.2.

5. Проводимо контроль обрахунків:

1) по умові фігури: ∑( α″_r + β″_r ) = 359˚59′59,996″;

2) по умові сум кутів протилежних трикутників:

α″₁ + β″₁ =α″₃ + β″₃;

α″₂ + β″₂ =α″₄ + β″₄;

28˚59′38,402″+ 47˚02′03,980″= 29˚22′34,650″+ 46˚39′07,731″=

=76˚01′42,382″ ≈ 76˚01′42,381″;

66˚34′59,321″+ 37˚23′18,296″= 65˚54′47,606″+ 38˚03′30,010″=

= 103˚58′17,617″ ≈103˚58′17,616″.

3) по полюсній умові:

ω″_п = [ ( Д sinα″_r : Д sinβ″_r ) – 1 ] х 206264,8 = [ ( 0,199193168 : 0,199193166 ) – 1 ] х 206264,8 = 0,0025″ ≈ 0.

Завдання №4. Врівноважити кути центральної системи спрощеним способом. Дані вихідних значень представлені в таблиці 1.

№	Вихідні дані ( кути )	Поправка Свій варіант	Виміряні кути βі
1.	28о01′30,24′′	–0,737′′	28о01′29,503′′
2.	30о57′52,20′′	0,793′′	30о57′52,993′′
7.	121о00′37,56′′	–0,448′′	121о00′37,112′′
3.	37о11′06,73′′	–0,697′′	37о11′06,033′′
4.	33о06′56,62′′	0,578′′	33о06′57,198′′
8.	109о41′57,60′′	0,282′′	109о41′57,882′′
5.	25о12′57,60′′	–0,066′′	25о12′57,534′′
6.	25о29′36,61′′	0,603′′	25о29′37,213′′
9.	129о17′25,79′′	–0,290′′	129о17′25,500′′

Таблиця 1. Вихідні дані