2.2. Правила перевода и выполнения арифметических действий в различных системах счисления

Чтобы перевести число из одной системы счисления в другую необходимо исходное число разделить на основание новой системы счисления, записывая остаток от деления. Полученное частное вновь поделить на основание новой системы счисления и выполнять деление до тех пор, пока частное не будет меньше основания новой системы счисления. Полученные остатки от деления, начиная с последнего, записываются в обратном порядке. Это и будет запись числа в новой системе счисления.

Обратный переход осуществляется по формуле:

x_n=a_m-1^.n^m-1+a_m-2^.n^m-2+…+a₀^.n⁰ (2.2)

Перевод из двоичной системы счисления в восьмиричную:

Двоичное число делится на группы по три цифры с конца. Каждая группа преобразуется числом в новой системе счисления.

Перевод из двоичной в шестнадцатиричную осуществляется аналогично, но делится на группы по 4 цифры.

Для перевода восьмиричного числа в двоичную систему счисления достаточно заменить каждую цифру числа соответствующим трёхразрядным двоичным числом.

Для перехода от шестнадцатиричной системы счисления к двоичной каждая цифра шестнадцатиричного числа заменяется соответствующим четырёхразрядным двоичным числом.

Перевод правильных дробей:

1. Необходимо отделить вертикальной чертой дробную часть

2. Умножить дробную часть на основание новой системы счисления

3. Результат записать строго под исходным числом, начиная с младшего разряда, если получится перенос в целую часть, то записать слева от черты

4. Умножение дробной части проводится пока либо не будет получено число с заданной точностью, либо справа от черты не будет ноль.

Перевод неправильных дробей: отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная.

Операции с двоичными числами:

0+0=0 0-0=0 0*0=0

0+1=1 1-0=1 0*1=0

1+0=1 1-1=0 1*0=0

1+1=10 10-1=1 1*1=1

0-1=1

Сложение:

75+28 = 103 1001011

75₁₀ = 1001011₂ + 11100

28₁₀ = 11100₂ 1100111 = 103

Вычитание: 75 – 28 = 47

Отрицательное число 28 для проведения с ним арифметических действий должно быть переведено в дополнительный код.

11100 – Прямой код числа 28

Дополнительный код служит для выполнения арифметических действий с отрицательными числами. Он образуется путём добавления единицы к младшему разряду обратного кода. Обратный код отрицательного числа получается из прямого кода положительного числа путём инвестирования его, т.е. замены 0 на 1 и 1 на 0.

Обратный код 00011

Дополнительный код 00100

Затем проводится сложение прямого кода первого числа и дополнительного кода второго числа, причём недостающие разряды в дополнительном коде дополняются единицами.

1001011

+1100100

0101111=47