1.1Үшінші тарау

3 Комплексті сандарды және векторлық диаграммаларды электр тізбектерді есептеуге қолдану

3.1 Синусоидалы функцияларды айнымалы векторлардың проекциялары түрінде көрсету

Электр тізбек күрделенгенде тригонометриялық түрде есептеу қиындап кетеді, ал сол себептен тұрақты тоқ тізбектерге ұқсасты айнымалы тоқ тізбектерді алгебралық түрде есептеуге рұқсат ететін әдіс керек болады. Мұндай ыңғайлы әдіс ретінде синусойдалы функцияларды құрауды айнымалы векторларды қарауға ауыстыруға орнатылған комплексті әдіс.

К омплексті жазықтықта әрбір нүкте бұл нүктені радиус-векторымен белгіленеді. Вектордың басы координат басымен үйлеседі, ал аяғы берілген комплексті санға сәйкесті нүктеде жатады (3.1-сурет).

3.1-сурет. Комплексті санды бейнейлейтін вектор.

Комплексті санды көрсеткіш немесе полярлы түрде жазуға болады:

(3.1)

мұнда -модуль; -аргумент немесе фаза;

Комплексті санның тригонометриялық түрде жазылуы:

(3.2)

және оның алгебралық түрі:

(3.3)

мұнда

Демек,

(3.4)

бұрыштық жылдамдықпен болымды бағытпен, яғни сағат тіліне қарсы, айналып тұрған векторды былай көрсетуге болады:

(3.5)

мұнда уақыт мезгілде векторды көрсететін комплексті амплитуда (3.2-сурет). Басқаша айтқанда, бұл уақыттан тәуелсіз, модуль және аргументы берілген синусоидалды функцияның амплитудасына және басты фазасына тең комплексті шама.

көбейткіш – айналдыру оператор. Комплексті амплитуда -ны көбейту болымды бағытқа вектор -ны бұрыш бұруды көрсетеді.

3.2-сурет. Айналмалы вектор.

(3.5) функцияны тригонометриялық түрде жазғанда шығады:

Қорытқанда, синусоидалды функция көбейткішсіз алынған комплексті (3.5) функцияның жорымал бөлігі немесе айналмалы вектордың жорамалды білікке проекциясы.

(3.6)

-комплексті функцияның жорамал бөлігі алынғанын көрсетеді.

Егер де синусоидалды функциялардың жиіліктері бірдей болса, онда бұл функцияларға сәйкесті векторлар бірдей бұрыштық жылдамдықпен айналады, ал сол себептен олардың арасындағы бұрыштар өзгермейтін болып сақталады.

3.3,а-суретте бұрыштық жиіліктері бірдей екі синусойдалды функциялар және көрсетілген. Функция фаза бойынша функция -деп озып тұр, фазалық ығысу басты фазалардың айырымына тең:

3.3,b-суретте бұл бұрышты өздері ара векторлар құрып тұр.

Басты фазалар тең кезде, яғни фазалық ығысу нөлге тең болғанда, векторлар бір жаққа бағытталады (фаза бойынша біртектес).

Фазалық ығысу 180° болғанда векторлар қарама-қарсы жақтарға бағытталады (қайшы фазада болады).

Фаза бойынша олардың өзара бағытта болуды сақтаумен құрылған векторлардың жиынтықтарын бейнелейтін диаграмма векторлық диаграмма деп аталады.

3.3-сурет

3.3-сурет

3.2 Комплекстік түрдегі Ом және Кирхгофтың заңдары

а) және -нің тізбектеп қосылуы

Кирхгофтың екінші заңы бойынша жазылған теңдеуде

(3.7)

параметрлар және кернеу берілген болсын, ал ізденіп жатқан шама – тоқ.

(3.7) дифференциалды теңдеудің шешуі синусоидалды функцияны береді,

,

мұнда және -тоқтың әлі белгісіз амплитудасы және басты фазасы, берілген синусоидалы кернеуге комплексті функция ал ізденіп жатқан синусоидалды тоққа-комплексті функция сәйкесті болады.

Онда (4.7) теңдеуді мына түрде көрсетуге болады,

(3.8)

Дифференциалдайды және интегралдауды өткізіп, табамыз;

(3.9)

(3.9) теңдеудің барлық бөліктерін көбейткіш қысқартып алгебралық комплексті теңдеуді табамыз:

(3.10)

тоқты жақшаның сыртына шығарғанда, болады:

(3.11)

мұнда -реактивтік кедергі; (3.12)

-комплексті толық кедергі (3.13)

(3.11) теңдеудің екі жағы бөлсек, комплексті әсерлік мәндер үшін Омның заңын шығарамыз,

(3.14)

Комплексті кедергіні тригонометриялық және көрсеткіш түрлері,

(3.15)

мұнда -комплексті санның модулі, ал комплексті санның аргументі,

(3.16)

(3.11) теңдеу бойынша тоқтың комплексті амплитудасы

мұнда -тоқтың басты фазасы.

Олай болса, ізденіп жатқан тоқ тригонометриялы түрде

(3.17)

бұл бұрынғы табылған (2.35) теңдеумен бірдей болып шықты яғни нәтижелерді бір-бірімен толық біртектес.

3.4-суретте (3.13) теңдеудің комплекті жазықтықта геометриялық талдау берілген. 3.4,а-сурет тізбектің реактивтік кедергісі индуктивтік түріне жатады , ал оған сәйкес тоқ кернеуден фаза бойынша қалып қалады 3.4,б-сурет тізбектің реактивтік кедергісі сыйымдылық түріне жатады , ал оған сәйкес тоқ кернеуден фаза бойынша озып кетеді

3.4-сурет. (а) және (b) кезде тізбекті қосылған

үшін векторлық диаграммалар.

кедергідегі кернеу ( тоқпен біртектес), индуктивтіктегі кернеу ( тоқтан 90° бұрышқа қалып қалады).

және векторлардың геометрикалық қосындысы тізбекке ынта салынған кернеудің векторын береді:

Катеттері және гипотенузасы -ға тең тұра бұрышты – кернеулер ұшбұрышы деп аталады.

б) және -нің параллельді қосылуы.

Кирхгофтың бірінші заңына сәйкесті комплексті әсерлік мәндер үшін жазамыз:

(3.18)

мұнда кедергідегі тоқ ( кернеумен фаза бойынша біртектес);

-индуктивтіктегі тоқ (кернеуден 90° қалады);

-сыйымдылықтағы тоқ (кернуден 90° озады).

Көрініс

(3.19)

қаралып жатқан тізбектің комплексті өткізгіштігі; және -тізбектің активтік және реактивтік өткізгіштері.

Теңдеу

(3.20)

Омның заңын комплексті түрде көрсетеді.

Комплексті өткізгіштіктің тригонометриялық және көрсеткіш түрлері,

(3.21)

мұнда комплекс санның модулі, ал комплекс санының аргументі.

(3.22)

(3.20) теңдеу бойынша тоқтың комплексті амплитудасы,

ал бұл мынадай синусоидалды тоққа сәйкес,

(3.23)

3.5-суретте (3.17) теңдеудің комплекстік жазықтықта геометрикалық талдау берілген. 3.5,а-сурет тізбектің реактивтік өткізгіштігі индуктивтік түріне жатады ал оған сәйкес тоқ кернеуден фаза бойынша қалып қалады ; 3.5,б-сурет тізбектің реактивтік өткізгіштігі сыйымдылық түріне жатады ал оған сәйкес тоқ кернеуден фаза бойынша озып кетеді

3.5-сурет. (а) және (б) кезде параллельді қосылған тізбек үшін векторлық диаграммалар.

кедергідегі тоқ ( кернеумен біртектес); индуктивтіктегі тоқ ( кернеуден 90° қалып қалады); сыйымдылықтағы тоқ ( кернеуден 90° озып кетеді).

және векторлардың геометриялық қосындысы тізбектегі жалпы тоқ -дің векторын береді:

Катеттері және , гипотенузасы -ға тең тұра бұрышты ұшбұрыш – тоқтардың ұшбұрышы.

Егер де тізбектің бөлігінің комплексті кедергісі берілсе, онда сол бөлігінің комплексті өткізгіштігі тең:

(3.24)

Егер де тізбектің бөлігінің комплесті өткізгіштігі берілсе, онда сол бөлігінің комплексті кедергісі тең:

(3.25)

Өткізгіштің әрбір қосындысына ( және ) активтік кедергі -ға және реактивті кедергі -ке тәуелді, ал кедергі әрбір қосындысы ( және ) активтік өткізгіштік -ға және реактивтік өткізгіштік -ға тәуелді.

3.3 Комплекстік түрдегі электрлік қуат

Тізбек арқылы синусойдалды тоқ өтіп жатыр және тоқтың бағытымен кернеудің бағыты біртектес (3.6-сурет)

3.6-сурет. Тоқ және кернеудің болымды бағыттары (а) және векторлық диаграммасы (b).

Комплексті тоқ және кернеу тең:

Тоқтың кернеуге қарай фазалық ығысу басты фазалардың айырымына тең:

Кернеудің комплексін тоқ -мен түйіндес комплекстік мәнге көбейтеміз,

Бұдан комплекстік қуат шығады:

(3.26)

Сонымен, комплекстік мәннің нақты бөлігі активтік қуатты белгілейді, ал жорамал бөлігі тізбекке түсетін реактивтік қуатты белгілейді.

Комплекстік қуаттың модулі толық қуатқа тең.

3.4 Потенциалды (типографиялық) диаграмма

Бұл диаграмма берілген тізбектің потенциалы нөлге тең бір нүктеге қарай бөлек нүктелерді комплекстік потенциалдары салынған. Кернеу түсуі векторлардың орналасу тәртібі диаграммада сұлбадағы тізбек элементтер орналасу тәртібіне қатал сәйкес. Әрбір кейінгі элементің кернеу векторына аяғы алдынғы элементтің кернеу векторының басына жалғасады. Бұлай кернеулердің векторлық диаграммасын құрғанда электр тізбектің әрбір нүктесіне потенциалды диаграммада белгілі нүкте сәйкес.