2.2. Число уравнений и неизвестных равно 3

4. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение 1. Пусть имеется матрица размерности  :

.

Минором k-го порядка данной матрицы называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столб­цов матрицы.

Пример. В матрице   минорами первого порядка явля­ются сами элементы матрицы. Если выбрать две строчки (например, 1-ю и 3-ю) и два столбца (например, 2-й и 5-й), получится минор второго порядка  . Если взять три строки и три столбца (например, 1-й, 3-й, и 4-й), получится минор 3-го порядка

.

Определение 2. Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.

Пример. В рассмотренной выше матрице   все миноры 3-го порядка равны нулю (это нетрудно проверить, миноров 3-го порядка всего десять), а среди миноров 2-го порядка есть отличные от нуля, например, вычисленный выше. Значит, ранг матрицы   равен двум. Это обозначается:  .

Определение 3. Две матрицы   и   называются эквивалентными (пишут:  ), если их ранги равны:  .

Можно показать, что следующие преобразования не меняют ранга матрицы:

1) перестановка строк матрицы;

2) умножение какой-либо строки на действительное число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки;

4) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Указанные преобразования можно использовать для определения ранга матрицы.

Пример. Для определения ранга матрицы   необходимо выполнить цепочку следующих преобразований:

~  (переставили местами первую и вторую строки) ~  (первую строку умножили на   и сло­жили со второй; первую строку умножили на   и сложили с третьей) ~  (элементы третьей строки умножили на

) ~  (к элементам третьей строки прибавили элементы второй строки). Преобразованная матрица имеет две ненулевые строки, следовательно, ранг матрицы   равен двум:  .

Определение 4. Пусть дана система   линейных уравнений с   неизвестными:

Матрицей системы называют матрицу, составленную из коэффициентов при неиз­вестных, расширенной матрицей системы – матрицу из коэффициентов с дополни­тельным столбцом из свободных членов. Если обозначить их соответственно   и  , то

,  .

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят в расширенную мат­рицу, то ранги обеих матриц можно вычислять одновременно.

~ ~

~ .

Таким образом, матрица   содержит две ненулевые строки, значит ее ранг   равен двум. В матрице   три ненулевых строки, ее ранг   равен трем. А т.к.  , система несовместна.