4. Статистический анализ

Цель статистического анализа - получение оценок рассеяния выходных параметров Y и вероятностей выполнения заданных условий работоспособности для проектируемого объекта. В случае объектов типа систем массового обслуживания сами выходные параметры имеют вероятностный смысл, тогда цель статистического анализа - расчет таких параметров. Причинами рассеяния выходных параметров Y являются нестабильность внешних параметров Q и случайный характер внутренних параметров Х. Результатами статистического анализа могут быть гистограммы выходных параметров, оценки математических ожиданий M_j и среднеквадратичных отклонений y.. y_j каждого из выходных параметров Y..Y_j от номинальных значений, оценки коэффициентов корреляции r_ji между параметрами Y_j и x_i, а также выходные параметры систем массового обслуживания. В качестве исходных данных фигурируют статистические сведения о рассеянии внутренних параметров и данные ТЗ о допустимых диапазонах изменения или законах распределения внешних параметров.

Наибольшее распространение в САПР при статистическом анализе получили методы наихудшего случая и статистических испытаний.

4.1 Метод наихудшего случая. Этот метод служит для определения диапазонов возможного рассеяния выходных параметров без оценки плотности распределения этих параметров.

Пусть на некоторый выходной параметр y_i задано условие работоспособности в виде y_i < зп, где зп – предел, заданный в техническом задании. Тогда интерес представляет верхняя граница диапазона рассеяния, так как большие значения Y наиболее опасны с точки зрения невыполнения условия работоспособности. Верхняя граница диапазона рассеяния достигается в наихудшем случае, когда все аргументы функциональной зависимости y_i = f(X) принимают самые неблагоприятные значения. Самым неблагоприятным значением аргумента X_i будет максимально возможное значение X_{i max} = X_{i ном} + X_i при выполнении условий y_i < зп и > 0 или y_i > зп и < 0. Самым неблагоприятным значением аргумента X_i будет минимальное значение X_{i min} = X_{i ном} - X_i, если (y_i < зп или <0) и (y_i > зп или >0). Здесь x_i – допуск на внутренний параметр X_i. При этом предполагается, что знаки коэффициентов влияния остаются неизменными в пределах рассматриваемой области.

Алгоритм метода наихудшего случая включает в себя следующие операторы:

1. Анализ чувствительности, в результате которого определяются коэффициенты чувствительности .

2. Задание параметрами X_i самых неблагоприятных значений.

3. Расчет выходных значений при неблагоприятных внутренних.

Выполнение анализа объекта в наихудшем случае. Каждому выходному параметру соответствует свой наихудший случай. Если объект характеризуется m выходными и n внутренними параметрами, то операторы 2 и 3 алгоритма повторяются m раз и всего требуется выполнить (m+n+1) вариантов обращения к модели объекта. Преимущество метода наихудшего случая в том, что для его применения не требуется знания законов распределения внутренних параметров. Достаточно знать лишь допуски x_i. Недостаток метода в том, что результаты анализа в наихудшем случае могут ввести в заблуждение пользователя относительно реального рассеяния выходных параметров.

4.2 Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний). Этот метод позволяет получить более полные статистические сведения о выходных параметрах исследуемого объекта. Алгоритм метода статистических испытаний включает в себя следующие основные операторы:

1. Задание значений внутренних и внешних параметров (аргументов зависимости Y от Х и Q в очередном статистическом испытании).

2. Расчет Y.

3. Накопление статистических сумм.

4. Обработка накопленных сумм для получения результатов статистического анализа.

Операторы 1-3 выполняются в каждом испытании и могут быть распараллелены. Оператор 4 завершает статистический анализ. Задание значений случайных параметров выполняется в соответствии с их законами распределения. Подпрограммы выработки псевдослучайных чисел для величин, распределенных по таким законам, как нормальный, равномерный, экспоненциальный, имеются в составе общего программного обеспечения большинства ЭВМ. Однако в практике проектирования могут встретиться задачи с коррелированными исходными данными, имеющими любое распределение. Часто исходные данные получают как результаты измерений параметров на партии изделий и представляют в виде гистограмм. Тогда алгоритм задания случайных значений параметров целесообразно построить на основе следующего преобразования: X = 0(AZ), где 0 - оператор преобразования значений нормально распределенных величин в значения внутренних параметров, имеющих заданные распределения; Z - реализация n-мерного некоррелированного случайного вектора, элементы которого имеют нормированное нормальное распределение, т.е. характеризуются нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями; Х - реализация n-мерного случайного вектора внутренних параметров в очередном статистическом испытании; А - матрица преобразования вектора Z в нормальный вектор с коррелированными элементами.[2]