2. Темп росту коштів за правилом складних відсотків

На відміну від правила простих відсотків, зміна параметру часу п та параметру дохідності і по-різному впливатиме на темп росту майбутньої вартості.

Якщо у формулі визначення майбутньої вартості (3.1) час фінансової угоди збільшити в к ра­зів, то темп росту майбутньої вартості становитиме:

(3.10)

Проте, коли ставку дохідності і збільшити в к разів, то темп росту майбутньої вартості становитиме:

(3.11)

Слід зазначити, що темп росту майбутньої вартості не залежить від початкової вартості.

Для того, щоб початкова сума збільшилась в N- разів, потрібно виконати наступну умову:

(3.12),

звідки:

(3.13)

Аналогічно отримаємо:

(3.14)

Розрахунки за формулою (3.13) передбачають використання комп'ютерних програм або спеціальних калькуля­торів, які дозволяють обчислювати логарифми. У разі необхідності виконання швидких обчислень за відсутності спеціальних за­собів, іноді застосовують наближені методи обчислень.

Наприклад існує так зване „правило 72-х”, проте воно є справед­ливим лише для невеликих (до 10 %) ставок відсотка.

Правило 72-х: Подвоєння капіталу за ставкою і за складни­ми процентами відбувається приблизно за 72/ і років.

Графічну інтерпретацію нарощення коштів за правилом склад­них процентів показано на рис. 3.1.

F V FV_n

IC

PV

n t

Рис. 3.1. Графік зростання вартості за правилом складних процентів

Із наведеного графіка видно, що нарощування вартості в часі за складними процентами є показниковою функцією.

3. Розрахунки за правилом складних відсотків в умовах змін вихідних параметрів

За правилом складних відсотків вартісні характерис­тики фінансової угоди (кінцева та початкова вартість коштів) без­посередньо залежать від строку (кількості періодів) та нор­ми дохідності фінансової операції.

Класична формула нарощення складних відсотків (3.1) пе­редбачає, що протягом усіх періодів п ставка дохідності і є ста­лою величиною.

Однак в реальних економічних умовах, ринкові ставки дохід­ності весь час змінюються, отже, у довгострокових фінансових угодах фіксувати ставку нарощування (або дисконтування) на весь термін угоди на визначеному початковому рівні не завжди доцільно. У разі плаваючих (змінних) ставок дохідності, зазвичай весь строк угоди розбивають на періоди, протягом яких ставка є незмінною.

Таким чином, коли впродовж терміну угоди ставки дохідності змінюються в часі, але в певні терміни, то нарощену за складни­ми відсотками суму визначають за формулою:

(3.15)

де Т— загальна кількість періодів нарощення; і — ставка до­хідності у періоді t;

п — тривалість t періоду, у якому ставка до­хідності не змінюється.

Для визначення середньої ставки дохідності складних відсотків і за повний строк дії фінансової угоди N необхідно роз­в'язати відносно і таке рівняння:

(3.16)

Отже, множник нарощення за середньою ставкою складних процентів визначають за формулою зваженої середньої геометричної величини.

Окрім ставки дохідності, іншим змінним вихідним параметром фінансової операції є загальна кількість періодів на­рощення чи дисконтування. У практиці фінансових розрахун­ків часто трапляються ситуації, коли за фіксованого загального строку угоди п змінюється кількість періодів нарахувань коштів. Наприклад, за банківським депозитом вказується річна ставка складних процентів і, а нарахування здійснюють щомісяця чи щокварталу тощо.

Отже, у деяких фінансових угодах капіталізація (нарахування) процентів відбувається m - разів однаковими частками через одна­кові проміжки часу протягом кожного періоду часу t.

В такому разі класична формула (3.1) для визначення майбут­ньої вартості за правилом складних відсотків, набуває вигляду:

(3.17)

т — кількість нарахувань відсотків протягом одного пе­ріоду часу.

Зазначимо, що коли т = 1 (тобто загальна кількість нараху­вань процентів співпадає з загальною кількістю періодів), то ви­раз (3.17) повністю співпадає з виразом (3.1).

Приклад 3.Вкладник поклав на депозит до банку 1 тис. грн. під 16% річних. Умовами угоди передбачено, що на цю суму банк нараховує складні відсотки щокварталу. Знайти суму, що акумулю­ється на депозитному рахунку через рік.

За формулою (3.17) маємо:

З використанням фінансових таблиць розрахунок набуває наступного вигляду:

Таким чином, коли виплати здійснюють за правилом складних відсотків кілька разів на рік, то фактична річна дохідність фінан­сової угоди більша від задекларованої річної дохідності за раху­нок реінвестування коштів.