4. Связь между напряженностью и потенциалом

Работа по перемещению заряда q на вектор в поле напряжённостью равна .

. (20.15)

Работа совершается за счёт уменьшения потенциальной энергии:

. (20.16)

Тогда получим:

. (20.17)

Отсюда получим, что напряжённость поля равна по величине и противоположна по направлению градиенту потенциала:

(20.18)

Напомним, что градиент – это вектор, проекции которого на координатные оси равны частным производным скалярного поля (в данном случае – потенциала ) по соответствующей координате:

(20.19)

То есть:

.

Вектор градиента направлен в сторону наибольшего возрастания величины. Поскольку в (20.18) стоит знак «–», то напряжённость направлена в сторону наибыстрейшего убывания потенциала. Это понятно, так как сила, действующая на положительный заряд, направлена по полю ; положительный заряд переносится полем туда, где потенциал меньше.

Формула (20.18) даёт связь напряжённости и потенциала в дифференциальном виде. Получим эту связь в интегральном. Для этого найдём работу по перемещению заряда из точки 1 в точку 2. С одной стороны, из (20.4):

и определения потенциала :

,

получим выражение для работы сил поля, полезное при решении задач:

. (20.20)

С другой стороны, работа силы при перемещении заряда q равна

, (20.21)

где интегрирование ведётся по любой линии, соединяющей точки 1 и 2. Тогда, приравняв правые части (20.20) и (20.21), получим:

(20.22)

Можно доказать (20.22), интегрируя (20.17) по произвольному контуру (для удобства заменили на элемент длины контура ):

.

Если поле однородно ( ) и направлено, например, вдоль оси OX, то из (20.21):

или

. (20.23)

Эквипотенциальной поверхностью называется совокупность точек пространства, имеющих одинаковый потенциал: .

Линии напряжённости всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. При переносе заряда по данной эквипотенциальной поверхности работа силами поля совершаться не должна, так как разность потенциалов в (20.20) равна нулю. Следовательно, сила , а значит, и напряжённость перпендикулярны траектории.

Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда – концентрические сферы (рис.20.3).

На рис.20.4 синим цветом изображены эквипотенциальные поверхности для различных систем зарядов:

a – поле точечного положительного заряда;

b – поле двух разноимённых зарядов;

c – поле двух зарядов одного знака.

На рис.20.5 также изображено распределение потенциалов поля двух разноимённых зарядов. На рис.20.6 изображено поле заряженного плоского конденсатора: пунктир – силовые линии поля, а эквипотенциальные поверхности – сплошные линии. Внутри конденсатора поле почти однородно; эквипотенциальные поверхности – равноотстоящие друг от друга плоскости, перпендикулярные силовым линиям.