Тема 1.1. Розрахункові схеми та правила приведення параметрів

На кінематичній схемі елементи, які рухаються поступально, характеризуються масою m [кг], а ті, що рухаються обертально – моментом інерції J [кг·м²]. Кожен елемент пов’язаний з наступним елементом невагомим механічним зв’язком, що характеризується жорсткістю c, яка вимірюється в [Н/м] чи [Нм/рад] в залежності від виду руху.

Жорсткість – це величина зусилля чи моменту на одиницю деформації тіла. Чим більша жорсткість тіла, тим менше воно деформується. При поступальному русі на тіло (стрижень) діє пружне зусилля F₁₂=F₁-F₂ [Н], яке викликає деформацію S=S₁-S₂ [м] (Рис. 1.1). Жорсткість дорівнює відношенню c=F₁₂/S [Н/м].

F₁₂

S₂

V₂

F₁

F₂

S₁

V₁

Рис. 1.1.

При обертальному русі на тіло (вал) діє пружний момент M₁₂=M₁-M₂ [Нм], який викликає деформацію __ [рад] (Рис. 1.2). В цьому випадку жорсткість дорівнює c=M₁₂/ [Нм/рад].

Рис. 1.2.

Жорсткість залежить від геометричних розмірів тіла та матеріалу, із якого воно виготовлено. Для пружного стрижня при його стисканні чи розтягуванні жорсткість визначається за наступною формулою

, (1.1)

де S – площа поперечного перерізу стрижня, м² ;

E – модуль пружності матеріалу, Па;

L – довжина стрижня, м.

Для пружного валу при його скручуванні жорсткість визначається наступним чином

, (1.2)

де G – модуль пружності скручування матеріалу, Па;

R – радіус валу, м.

Величина, обернена до жорсткості e=1/c, називається піддатливістю.

Найпершою задачею при проектуванні ЕП є складання на основі кінематичної схеми механічної частини електромеханічної системи розрахункової схеми та спрощення її до ступеня відповідно до вимог синтезу. Чим простіша розрахункова схема, тим простіший її математичний опис і відповідний регулятор, проте при спрощенні не повинно якісно змінитися математична модель електромеханічної системи.

Кожен елемент кінематичної схеми характеризується жорсткістю, масою чи моментом інерції, сукупністю діючих на нього моментів чи сил, проте має свою швидкість, тому для безпосереднього порівняння вказаних параметрів їх необхідно привести до однієї швидкості, відносно якої здійснюються розрахунки та дослідження. Найчастіше це швидкість двигуна або лінійна швидкість робочого органу. В результаті приведення реальна кінематична схема замінюється енергетично еквівалентною розрахунковою. Найбільший вплив на рух мають елементи з найбільшою масою, як найбільш інерційні, та зв’язки з найменшою жорсткістю, бо призводять до коливань мас. Виділивши їх, можна спростити розрахункову схему й тим самим забезпечити меншу складність системи керування.

На рис. 1.3 представлено кінематичну схему умовного підйомного механізму.

Рис. 1.3.

На основі цієї схеми спочатку складається попередня розрахункова схема (Рис. 1.4). Для цього вибирається швидкість, до якої буде здійснюватись приведення. У даному випадку – це швидкість двигуна ₁. Реальні елементи (двигун, редуктор тощо) на схемі зображуються прямокутниками, площа яких пропорційна їх моментам інерції (масам). Прямокутники з’єднуються невагомими зв’язками, довжина яких обернено пропорційна жорсткості валів чи каната. Елементи, які рухаються із швидкістю, відмінною від швидкості двигуна, позначаються з верхнім індексом “штрих”, що означає приведення параметрів до валу двигуна.

Рис. 1.4.

Умовою приведення параметрів реальної схеми до розрахункової є виконання закону збереження енергії та елементарної роботи.

При приведенні моментів інерції та мас повинен виконуватися закон збереження кінетичної енергії. Для обертального руху при приведенні моменту інерції елемента, який рухається зі швидкістю _i , до розрахункової швидкості ₁ повинна виконуватися умова

, тобто , звідкіля

, (1.3)

де – передаточне число від валу приведення до i-го валу.

Аналогічно для поступального руху , звідкіля

, (1.4)

де – радіус приведення.

Для лінійних кінематичних зв’язків i_1i та _1i є незмінними.

Переміщення та прискорення приводяться на основі відношення швидкостей елементів. Для обертального руху кутове переміщення _i [рад] після приведення дорівнює

, (1.5)

а кутове прискорення _i [рад/с²]

. (1.6)

Для поступального руху лінійне переміщення S_i [м] після приведення визначається наступною формулою

, (1.7)

а лінійне прискорення a_i [м/с²]

. (1.8)

Приведення моментів та зусиль здійснюється за умови рівності елементарної роботи на можливих переміщеннях. Для обертального руху , звідкіля приведений момент дорівнює

. (1.9)

Для поступального руху , звідкіля знаходиться приведене зусилля

. (1.10)

При приведенні жорсткостей повинен виконуватися закон збереження потенціальної енергії . Для обертального руху

, звідкіля

. (1.11)

Для поступального руху , звідкіля

. (1.12)

При послідовному об’єднанні декількох невагомих зв'язків загальна жорсткість та піддатливість визначаються за наступною формулою

(1.13)

а при паралельному з’єднанні вони дорівнюють

(1.14)

На основі аналізу числових значень приведених моментів інерції (мас) та жорсткостей виділяються найбільш суттєві, тобто найбільші приведені маси та найменші приведені жорсткості. На основі цього здійснюється спрощення. Декілька елементів схеми можна об’єднати в один. При цьому новий елемент буде характеризуватися еквівалентним моментом інерції та еквівалентною жорсткістю. Нехай на попередній розрахунковій схемі на рис. 1.4 найменшу жорсткість має ремінна передача та канат, тобто c₄^’ , c₁₂^’ , а найбільший момент інерції має двигун, барабан та вантаж, тобто J₁, J₁₂^’, J₁₃^’. Моменти інерцій елементів, які розділяються зв’язками з найменшими жорсткостями c₄^’ , c₁₂^’, об’єднуються

Ці еквівалентні моменти інерції з’єднуються еквівалентними жорсткостями c_екв1 та c_екв2, які визначаються жорсткостями елементів між найбільшими масами J₁..J₁₂^’ та J₁₂^’..J₁₃^’

Після такого спрощення початкова розрахункова схема приймає наступний вигляд (Рис. 1.5).

Рис. 1.5.

Тобто схема представляється трьома масами, з’єднаними двома пружними зв’язками. Якщо жорсткість с_екв2 набагато менша за с_екв1, то схему на рис. 1.5 можна ще спростити, об'єднавши J_екв1 та J_екв2 , і отримати двомасову схему. На спрощених схемах еквівалентні маси зображуються колами, а жорсткості – у вигляді схематичних пружин.

При синтезі ЕП після спрощень найчастіше використовуються три типові розрахункові схеми:

1. Тримасова – для детального аналізу та якісного синтезу електромеханічних систем із двома суттєвими пружними зв’язками. Використовується найрідше (Рис. 1.6).

Рис. 1.6.

2. Двомасова – найбільш адекватно відображує процеси більшості електромеханічних систем з одним суттєвим пружним зв’язком (Рис. 1.7).

Рис. 1.7.

3. Одномасова – застосовується найчастіше для синтезу та аналізу електропривода та електромеханічних систем із високою жорсткістю зв’язків або коли жорсткістю зв’язків нехтують. Усі маси замінюються однією еквівалентною (Рис. 1.8).

Рис. 1.8.

Рухомі елементи кінематичної схеми можуть мати паралельні ділянки, що характерно для багатодвигунних електроприводів. Еквівалента жорсткість обчислюється за формулою (1.14) (Рис. 1.9).

Рис. 1.9.

В реальних системах завжди є дисипативні сили, наприклад, сили внутрішнього в’язкого тертя, які призводять до поглинання енергії механічних коливань, обумовлених пружністю механічних зв’язків. На розрахункових схемах сили внутрішнього в’язкого тертя з коефіцієнтом тертя  позначається механічним демпфером, який встановлюється паралельно пружному зв’язку (Рис. 1.10).

Рис. 1.10.

Сили внутрішнього тертя пропорційні швидкості деформації. Для обертального руху момент тертя дорівнює

, (1.15)

а для поступального руху сила тертя становить

. (1.16)

Приведення коефіцієнта в’язкого тертя (демпфірування) виконується на основі збереження енергії дисипації W_Д = W_Д^’ . Для обертального руху

, тому

. (1.17)