Обработка результатов неравнорассеянных (неравноточных) измерений.

Неравноточными называются ряды (серии измерений), выполненные различными операторами с помощью различных средств измерений. В данных измерениях средние арифметические значения являются оценками одного и того же значения измеряемой величины, а оценки дисперсии существенно отличаются. Для обработки таких результатов используется метод оценки воспроизводимости измерений. На основании первичной обработки результатов для каждого ряда измерений должны быть определены следующие характеристики:

1) Математическое ожидание или среднее арифметическое значение.

2) Оценка СКО результатов измерений. S( .

Применяя основную методику получим следующие оценки:

Q= ;

S²( ;

где - вес, который характеризует степень доверия к результатам измерений каждого из рядов, где с – const,

- оценка дисперсии результатов рядов;

К – количество рядов измерений.

на практике используют следующие средневзвешанные оценки:

Q^*= ;

S²( ;

Доверительные границы погрешности результата при условии n>30,20 измерений в ряду рекомендуется определить по нормированному нормальному закону распределения. При малом количестве измерений рекомендуется использовать распространение Стьюдента. Практически если об исходных распределениях нет никакой информации, на основании центральной предельной теоремы, доверительные границы определяют согласно нормальному закону распределения.

Совместная обработка нескольких рядов (серий измерений)

При выполнении бесконечных многократных наблюдений в течение длительного периода времени происходит изменение параметров средств измерений, изменение влияющих факторов, что неизбежно вызывает образование систематических и случайных изменений математических ожиданий и дисперсий, полученных в рядах.

Для повышения точности измерений рекомендуется принимать меры в стабилизации параметров окружающей среды и каждый раз тщательно настраивать приборы. При выполнении таких измерений получают k – групп по n – результатов в каждом.

Групповые средние арифметические значения и общие средние определяются по следующим формулам:

;

;

;

Оценка равнорассеяности групп наблюдений осуществляется путем расчета следующих оценок дисперсии и результатов.

Общее рассеяние в ряде (группе) наблюдений:

;

Рассеяние между групповыми средними:

;

Рассеяние внутри каждой j – той группы :

;

Среднее рассеяние внутри групп:

;

Где j – номер ряда от 1…k;

i – номер измерения в ряду от 1…n_j;

n – общее количество измерений в рядах.

Для проверки гипотезы о равнорассеянности результатов используется F – распределение Фишера, которое описывает распределение отношений двух независимых оценок дисперсий. Если при выборной доверительной вероятности 0,95 , то - возможные оценки дисперсии считаются незначимыми. В противном случае, расхождение дисперсии следует считать существенным и оно не может быть объяснено ограничением опытов данных.

В общем случае гипотезу о равнораспространенности групп результатов проверяют в два этапа:

1)Сначала проверяется гипотеза о равенстве дисперсий во всех группах наблюдений. Для этого их располагают в вариационный ряд в порядке возрастания , и проверить значимость отношений дисперсий / . Если это отношение дает незначимые различия оценок, то проверку по остальным дисперсиям можно не выполнять. В этом случае принимается исследуемая гипотеза и рассеивание результатов наблюдений относительно средних во всех группах считается одинаковым.

В противном случае необходимо проверить значимость отношений всех остальных дисперсий и необходимо считать дисперсии отличающиеся от существующих.

При равенстве дисперсий в группах проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий во всех группах. Если эта гипотеза верна, то оценки и будут являться независимыми дисперсиями, точечными оценками одной и той же дисперсии, равной дисперсии результатов всех наблюдений. Отношения оценок подчиняются F – распределению Фишера и если расхождение этих оценок значимо, то при вероятности следует считать, что при измерениях происходили случайные или систематические сдвиги математических ожиданий результатов и расхождения между средними арифметическими не определяются ограниченностью данных.

На практике для оценки гипотезы о равенстве средних арифметических используется распределение Стьюдента. Расчетная величина критерия определяется:

;

Если выполняется условие: (t₁-2)<t_T/p, то гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается.

Распределение Стьюдента используется для проверки значимости разности средних арифметических во всех группах.

Если выполненные расчеты показали, что оценки дисперсии и средних арифметических групп отличаются незначимо, то все результаты можно считать равнораспространенными, объединить их в один массив и обработать по методике многократных равноточных измерений.

Значимое различие групповых средних арифметических свидетельствует о том ,что на полученные результаты большое влияние оказали какие-то факторы, следует принять меры к их обнаружению и компенсации. Если значимыми являются различия дисперсии и незначимыми средних арифметических, то полученные результаты можно образовать по методике неравноточных многократных измерений.

Обработка результатов косвенных измерений

Косвенные измерения – измерения, в которых искомое значение величины определяется на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными в результате прямых измерений.

Требуется оценить значение величины Y , связанной с измеренными величинами значениями x₁,…, x₂,…,x_k,Y=f(x₁,…, x₂,…,x_k)

Задача сводится к нахождению оценки неизвестной величины Y, если при обработке результатов прямых измерений получены оценки

величин x₁…x_k.

В большинстве случаев, исходное уравнение можно разложить в k – мерный ряд Тэйлора по различным степеням и получить оценки искомой величины. Дисперсия оценки величины Y будет достигать минимума в том случае, если дисперсии исходных величин (аргументов) будут минимальны.

Путем доказательства определено, что в качестве наиболее достоверного значения косвенной величины следует принимать значение, которое получено из формулы косвенной величины по средним арифметическим значениям аргументов.

;

Дисперсия этой оценки по выборочным дисперсиям определяется по следующей зависимости:

;

Где - коэффициент корреляции между значениями измеренных коэффициентов. Обычно =0, поскольку измерение аргументов производится неодновременно и с помощью различных средств измерения.

Статистическая дисперсия общей оценки определяется:

;

Поскольку оценка косвенной величины получается путем математических расчетов по результатам нескольких аргументов, то она не будет точно соответствовать истинному значению величины – будет смещенной на величину систематической составляющей погрешности результата. Для некоррелированного измерения:

;

Для исключения этой систематической погрешности в рассчитанный результат нужно внести поправку q=- .

;

- квантиль, величина которого определяет значение доверительного интервала и зависит от вида закона распределения итогового результата.

Если функция непрерывна, а результаты прямых измерений аргумента распределены нормально, то при заданной вероятности при достаточном количестве измерений для определения доверительного интервала используют распределение Стьюдента.

Если искомая величина является суммой двух величин (Y=x_i+x_j), то оценкой истинного значения косвенной величины является сумма оценок значений аргументов.

;

;

Доверительный интервал также рассчитывается в соответствии с законом Стьюдента. Косвенная величина является суммой m – аргументов.

. В этом случае оценками косвенной величины будут:

;

Доверительный интервал определяется аналогично.

Совокупные и совместные измерения.

Эти виды измерений характеризуются тем, что значения искомых величин рассчитываются по системе уравнений, связывающих их с другими величинами, измеряемыми прямыми, либо косвенными методами. Проводят измерения нескольких комбинаций величин.

Каждая комбинация позволяет получить соответствующее уравнение, в результате образуется система уравнений:

Где Q_j – число искомых величин общим числом х; - полученное в i –том опыте k величин, измеренные прямыми и косвенными методами; i=1…n – число реализаций; F_i – символ функциональной зависимости.

Если Q_j является значениями одной и той же величины или однородными величинами (масса, длина), то измерения будут являться совокупными, а если Q_j является неоднородными величинами, то измерения совместные.

После подстановки в исходную систему уравнений результатов прямых или косвенных измерений и проведения преобразований получается ряд уравнений, содержащий лишь исходные величины и числовые значения.

)=0

……………………….

=0 - уравнения называются условными.

Для получения значений искомых величин в системе необходимо иметь количество условных уравнений не меньше числа искомых величин. Из-за ограниченной точности определения измеряемых величин, истинные значения искомых величин по исковым уравнениям определить невозможно, а следует определить их оценки. Оценки искомых величин могут быть получены путем решения системы уравнений.

Если условные уравнения являются линейными или линиаризированны, решения данной системы методом наименьших квадратов обеспечивают получение состоятельных и несмещенных оценок.

Решение системы исходных уравнений методом наименьших квадратов осуществляется по стандартным программам на ЭВМ или при помощи матричного метода.

Доверительные пределы, в которых распределяются оценки искомых величин определяют в соответствии с законом Стьюдента или с помощью неравенства Чебышева.