Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей

Теорема. Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс системы, параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

.

Примем за центр масс начало координат .

Координаты точки системы массой . Расстояние от этой точки до осей z и .

Тогда моменты инерций относительно данных осей:

(1)

Из . (2)

Для получаем, подставив (2) в (1):

- масса системы

Таким образом .

Следствие. Если имеется система параллельных осей, то ось, для которой момент инерции имеет наименьшее значение, проходит через центр масс.

Пример: определить момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину стержня.

П о теореме о моментах инерции относительно параллельных осей:

.

,тогда

Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении

При таком движении скорости всех точек тела в каждый момент времени распределены как во вращательном движении вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения и, проходящей через МЦС.

С ледовательно, для вращательного движения (см. ранее)

(1)

Т.к. МЦС в каждый момент времени при движении тела меняется, то пользоваться неудобно.

По теории о моментах инерции относительно параллельных осей (см. рис.)

(2)

Подставим (2) в (1):

(3)

Читать. Кинетическая энергия твердого тела при плоскопараллельном движении равна кинетической энергии его центра масс, в котором предполагается сосредоточенной вся масса тела, и кинетической энергии тела в его вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости движения тела.

В (3):

- скорость центра масс,

- момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (центральный момент инерции).

Кинетическая энергия твердого тела в общем случае движения

Если за полюс взять центр масс тела, то движение в общем случае будет складываться из поступательного движения центра масс и из вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс. В каждый момент времени при этом мгновенная ось вращения меняет свое направление и положение в пространстве. Для этого случая соответствует формула (3), где - момент инерции относительно мгновенной оси вращения.

Замечание. Кинетическая энергия системы материальных тел определяется суммой кинетических энергий тел системы, т.е.

.

Задача. Механическая система под действием сил тяжести приходит в действие из состояния покоя; начальное положение системы показано на рисунке. Учитывая трение скольжения тела А, пренебрегая массами нерастяжимых нитей и различными силами сопротивлений, определить скорость тела А в тот момент, когда пройденный им путь станет равным S.

В задаче приняты обозначения: - масса тела А, R и - радиусы больших и малых окружностей, - радиусы инерции тел относительно горизонтальных осей проходящих через центры тяжести.

Д ано: Решение:

Найти

(3)

Выразим все входящие в (3) скорости через искомую- .

Выразим все входящие в (3) моменты инерции

3. с учётом (4) и (5) примет вид (а так же заданной массы)

(2):

Определим работу всех внешних сил системы, когда тело А пройдёт S

т.к. силы приложены к неподвижной точке

т.к. сила приложена в МЦС;

Тогда

13