Ход работы

1. Определим тип заданной системы массового обслуживания: многоканальная система с отказами и бесконечным потоком требований на входе.

Построим размеченный граф состояний системы:

, , ,

Выберем расчётные формулы:

Вероятности состояний системы:

Вероятность загрузки системы:

Вероятность отказа в обслуживании:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число требований в очереди:

Среднее время ожидания в очереди:

Среднее число занятых каналов:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время пребывания требования в системе:

Рассчитаем показатели эффективности СМО:

Вероятность загрузки системы

Вероятность простоя системы

Вероятность нахождения в системе 1 заявки

Вероятность нахождения в системе 2 заявок

Вероятность нахождения в системе 3 заявок

Среднее время обработки одной заявки

Среднее число занятых каналов

Среднее число требований в очереди 0.174

Среднее время ожидания в очереди 1.74

Среднее число требований в системе 2.174

Среднее время нахождения заявки в системе

2. Рассчитаем вероятности состояний системы и характеристики эффективности СМО имитационным методом. Для этого построим модель с использованием ExtendSim:

Рисунок 1. Модель ExtendSim для имитации СМО

Рассчитаем программные показатели эффективности СМО по данной модели:

Среднее время обработки одной заявки

Среднее число занятых каналов

Среднее время ожидания в очереди

Среднее число требований в очереди

Среднее время нахождения заявки в системе

3. Сопоставим результаты, полученные на основе использования аналитического и имитационного моделирования. Половина результатов, полученных на основе использования формул для расчета вероятностей состояний и характеристик эффективности функционирования типовых систем массового обслуживания, близки к программным показателям эффективности СМО, полученным на основе имитационного моделирования. Не совпадают среднее время нахождения заявки в системе, среднее время ожидания в очереди и среднее число требований в очереди – скорее всего из-за погрешности, свойства блока Queue в ExtendSim. Отсюда можно сделать вывод, что для моделирования заданной системы массового обслуживания использование аналитического метода и метода имитационного моделирования почти одинаково эффективно, потому что приводят к похожим результатам с допустимой низкой погрешностью. Однако при аналитическом моделировании сначала необходимо определить тип системы, и все характеристики приходится считать вручную, используя математические формулы.

Таблица 1. Сравнение результатов методов

Характеристика СМО	Аналитический расчет	Имитационное моделирование
	0.174	0.0041
	10	10.03
	1.74	0.0208
	2	2.01
	2.174	2.0141
	11.74	10.0508

4. Оценим эффективность реализованной в работе системы массового обслуживания. В результате имитационного моделирования было обслужено 7707 покупателя. Можно сделать вывод, что данная система массового обслуживания работает с приемлемой эффективностью, но, тем не менее, необходимо повысить эффективность её функционирования. Для усовершенствования системы можно добавить дополнительный канал обслуживания (колонку). Тогда загруженность очереди спадет.

5. Реализуем имитационное моделирование изучаемой СМО с учетом дополнительных условий и вычислим вероятность простоя системы, среднее время ожидания в очереди и среднее время пребывания требования в системе по результатам 5-ти прогонов имитационных моделей системы:

Рисунок 2. Модель ExtendSim для имитации СМО с учетом дополнительных условий

Среднее время обработки одной заявки

Среднее число занятых каналов

Среднее время ожидания в очереди

Среднее число требований в очереди

Среднее время пребывания требования в системе

Сравним два варианта реализации системы по результатам 5-ти прогонов. В системе с дополнительными условиями среднее число занятых каналов почти не изменилось, среднее время обработки осталось прежним. Самыми заметными отличиями являются характеристики “среднее время ожидания в очереди” и среднее число требований в очереди: из-за того, что очередь в системе теперь ограничена, время и количеств заявок в очереди уменьшилось из-за возможности отказа, но из-за нарастающей со временем интенсивности приходит и обрабатывается больше заявок.

Таблица 2. Сравнение результатов моделирования систем

Характеристика СМО	Исходная система	Система с дополнительными условиями
	0.0041	0.014
	10.03	11.36
	0.0208	0.072
	2.01	2.27
	2.0141	2.294
	10.0508	11.108

Таблица3. Сравнение времени ожидания и времени обработки

N прогона	Исходная система			Система с дополнительными условиями
1	0,017	10,00	10,017		0,074	11,36	11,434
2	0,022	10,06	10,082		0,088	11,35	11,438
3	0,024	10,00	10,024		0,086	11,47	11,556
4	0,024	10,01	10,034		0,093	11,35	11,443
5	0,030	10,07	10,100		0,068	11,41	11,478
Мат. ожидание по результатам 5 прогонов	0,0234	10,028	10,0514		0,0818	11,388	11,4698

– среднее время ожидания, - среднее время обработки, – среднее время нахождения заявки в системе

Воспользовавшись формулой для нахождения дисперсии , вычислим данный параметр для среднего времени нахождения заявки в системе для обеих систем:

Рассчитаем статистические характеристики (среднее, среднеквадратическое отклонение, минимальное и максимальное значения) показателя «время пребывания требования в системе» для двух вариантов реализации системы:

Таблица 4. Сравнение параметров среднего, СКО, минимального и максимального времени пребывания задачи в системе

	Исходная система	Система с дополнительными условиями
Среднее	10,0514	11,4698
Среднеквадратическое отклонение	0,0055352	0,0105088
Минимальное значение	10,017	11,434
Максимальное значение	10,1	11,556

Построим гистограмму распределения показателя «время пребывания требования в системе» для двух вариантов реализации системы:

Рисунок 3. Гистограмма показателя «время пребывания требования в системе» для исходной модели (голубой цвет) и для модели с доп. условиями (черный цвет)