10 Клас
1.
Розв’яжіть рівняння
для всіх значень параметра а.
2. Чи існують такі натуральні числа a, b і c, що у кожного з рівнянь
ax2+bx+c = 0, ax2+bx–c = 0, ax2–bx+c = 0, ax2–bx–c = 0 обидва кореня – цілі?
3. У деяких країнах сумарна зарплата 10% найбільш високооплачуваних працівників становить 90% зарплати всіх працівників. Чи може так бути, що в кожному з регіонів, на які ділиться ця країна, зарплата будь-яких 10% працівників становить не більше 11% всієї зарплати, що виплачується в цьому регіоні?
4
.
Усередині
кута
з
вершиною
M
позначена
точка
A.
З
цієї
точки
випустили
кульку,
яка відбилася від
однієї сторони
кута
в
точці
B,
потім
від
іншої сторони
в
точці
C
і
повернулась
у
точку A
(«кут
падіння»
дорівнює «куту відбиття»). Доведіть,
що
точка O
–
центр кола, описаного навколо
трикутника
BCM,
лежить на
прямій
AM.
11 Клас
1.
Розв’яжіть рівняння
для всіх значень параметра а.
2. По ребрах опуклого многогранника з 2011 вершинами проведена замкнена ламана, що проходить через кожну вершину рівно один раз. Доведіть, що в кожній з частин, на які ця ламана ділить поверхню многогранника, кількість граней з непарним числом сторін – непарна.
3. Чи існують три квадратних тричлена, такі що кожен з них має два різних дійсних кореня, а сума будь-яких двох тричленів не має дійсних коренів?
4. Натуральне число N в 999 ... 99 (k дев'яток) разів більше суми своїх цифр. Зазначте всі можливі значення k і для кожного з них наведіть приклад такого числа.
Вказівки до розв’язання задач олімпіади з математики.
6 Класс
1. Если рядом стоят числа a и b, то следующим стоит число b/a, за ним 1/a, потом 1/b, наконец, a/b. Эти шесть чисел удовлетворяют условию задачи. Конечно, при неудачном выборе чисел a и b какие-то из указанных чисел совпадут, но нас это не остановит: для решения задачи достаточно предъявить один пример. Например, взять a=2, b=3.
2. Ответ: 55%.
Решение. Если Маше удвоят стипендию, семейный доход возрастёт на размер этой стипендии. Следовательно, Машина стипендия составляет 5% общего дохода. Аналогично, мамина зарплата составляет 15%, а папина – 25%. Оставшаяся доля 100%–5%–15%–25%=55% приходится на дедушкину пенсию. Значит, если ему удвоят пенсию, доход всей семьи возрастёт на 55%.
3 Ответ: оптовая цена ручки – 2 рубля 50 копеек. Если оптовая цена ручки – x рублей, то 5–x=10–3x, откуда x=2,5.
4. Ответ: 21 авиалиния.
Докажем, что меньше, чем 21 линией не обойтись. Вначале докажем, что если 15 городов соединены авиалиниями так, что можно добраться от любого города до любого другого, то авиалиний не меньше 14.
Обозначим число авиалиний через k. Если мы уберём одну из них, города могут распасться на две разрозненные группы, между которыми нет воздушного сообщения, а могут и не распасться. После удаления следующей авиалинии не более одной группы может распасться ещё на две, количество разрозненных групп увеличится не более чем на одну. Продолжая аналогичные рассуждения, получим, что после удаления последней авиалинии количество разрозненных групп не может превысить k+1. Поскольку 15 городов без авиалиний – это 15 групп, то k>14.
Обозначим количество линий у авиакомпаний через a, b и c. По доказанному, у любых двух компаний вместе не менее 14 линий, т. е. у трёх компаний в сумме не менее 21 авиалинии.
