Задачі на зважування та переливання

1. Теоретичний матеріал

Щоб навчитися правильно міркувати, потрібно вирішувати завдання на кмітливість. Одним з класів завдань такого вигляду є завдання на зважування та переливання. У математичній науці завдання на зважування та переливання допомагали людям використовувати науку в повсякденному житті, розвивати логіку і мислення.

В результаті опрацювання запропонованого матеріалу учні познайомляться з новими для них задачами на переливання та зважування, навчаться їх розв’язувати.

1.Задачі на зважування

Задачі на зважування - досить поширений вид математичних завдань.

У таких завданнях той, хто розв’язує задачу повинен локалізувати предмет, що відрізняється від інших по вазі за обмежене число зважувань. Пошук розв’язування в цьому випадку здійснюється шляхом операцій порівняння, правда, не лише одиночних елементів, але і груп елементів між собою. Розв’язуючи такі задачі не забувайте розібрати всі варіанти. Якщо шукаєте фальшиву монету, то корисно поділити всі монети на три кучки, при цьому кількість зважувань зменшується.

№55

У Буратіно є 27 золотих монет. Але відомо, що Кіт Базиліо замінив одну монету на фальшиву, і вона по вазі важче справжніх. Як за три зважування на чашкових вагах без гир Буратіно знайти фальшиву монету?

Розв’язання

Розділимо монети на 3 купки по 9 монет. Покладемо на чаші вагів першу і другу купки; в результаті цього зважування ми точно дізнаємось, в якій з купок знаходиться фальшивка (якщо ваги покажуть рівність, то вона - в третій купці). Тепер, аналогічно, розділимо вибрану купку на три частини по три монети, покладемо на ваги дві з цих частин і визначимо, в якій з частин знаходиться фальшива монета. Нарешті, залишається з трьох монет визначити важчу: кладемо на чаші вагів по 1 монеті - фальшивою є важча; якщо ж на вагах рівність, то фальшивою є третя монета з частини.

№56

С еред 101 однакових за виглядом монет одна фальшива, така, що відрізняється за вагою. Як за допомогою чашкових вагів без гир за два зважування визначити, легшою або важчою є фальшива монета? Знаходити її не потрібно.

Розв’язання

Зважуємо 50 і 50 монет, можуть бути два випадки.

1 випадок. Монети мають однакову вагу. Беремо монету, що залишилася, і ставимо її в ліву купку замість однієї з тих, що є там:

а) ліва купка важча => фальшива монета важча;

б) ліва купка легша => фальшива монета легша.

2 випадок. Монети мають різну вагу. Беремо важчу купку і розбиваємо її на дві купки по 25 монет:

а) вага купок однакова => фальшива монета легша;

б) вага купок неоднакова => фальшива монета важча.

№57

Є 8 монет. Одна з них фальшива і легша за справжню монету. Визначить за 3 зважування яка з монет фальшива.

Розв’язання

Ділимо монети на дві рівні купки – по 4 монети в кожній. Зважуємо. Ту купку, яка легша, знову ділимо на дві однакові купки – тепер по дві монети в кожній. Зважуємо. Визначаємо, яка з них легша. Кладемо на чаші вагів по 1 монеті з цієї купки. Фальшива та, яка легша.

№58

Ліса Аліса і Кіт Базиліо – фальшивомонетники. Базиліо робить монети важче справжніх, а Аліса – легше. В Буратіно є 15 однакових на вигляд

монет, але якась одна – фальшива. Як двома зважуваннями на чашкових вагах без гир Буратіно може визначити, хто зробив фальшиву монету – Кіт Базиліо або Ліса Аліса?

Розв’язання

Буратіно може розділити свої монети на три купки по 7, 4, 4, або по 5, 5, 5, або по 3, 6, 6, або по 1, 7, 7 монет. При першому зважуванні він покладе на ваги дві купки монет однакової величини. Якщо при цьому ваги виявилися в рівновазі, значить, всі монети на вагах справжні, а бракована монета в купці, що залишилася. Тоді при другому зважуванні на одну чашу вагів Буратіно покладе купку з бракованою монетою, а на другу – стільки справжніх монет, скільки всього монет він поклав на першу чашку, і тоді він відразу визначить, легше фальшива монета, чим справжня, чи важча. Якщо ж при першому зважуванні ваги виявилися не в рівновазі, значить, всі монети в купці, що залишилася, справжні. Тоді Буратіно прибере з вагів легку купку, а монети з важкої купки розділить на дві рівні частини і покладе на ваги (якщо в купці було 5 або 7 монет, заздалегідь додасть до них одну справжню монету). Якщо при другому зважуванні ваги виявилися в рівновазі, значить, фальшива монета легша справжніх, а якщо немає, то важча.

№59

Є 10 монет. Одна з них фальшива і легша за справжню монету. Як, за допомогою чашкових вагів без гир, визначити яка з монет фальшива?

Розв’язання

Розділимо 10 монет на 2 рівних купки – по 5 монет. Покладемо на чаші вагів. Визначимо, в якій з цих купок знаходиться фальшива монета. Тепер цю купку ділимо на 3 купки – в двох з них по дві монети, в третій одна монета. Зважуємо купки, в яких по дві монети. Якщо ваги покажуть рівність, то фальшивка в третій купці. Якщо покажуть нерівність, то фальшива монета в купці, яка легше. Тепер кладемо на чаші вагів по 1 монеті з цієї купки – фальшивою є легша.

№60

Є стандартні ваги з чашами та дві гирі: 10 і 2 кг. Як з їх допомогою зважити 3кг слив?

Розв’язання

Зважуємо спочатку 2 кг слив. Потім ділимо їх порівну і кладемо на ваги, 1 кг слив отримали. Маючи 1кг і гирю в 2 кг можна відміряти будь-яку іншу кількість кілограмів слив,  в тому числі і 3 кг.