10 Клас

1. Графік рівняння перпендикулярний прямій і проходить через точку з координатами . Чому дорівнює сума ?

2. Відомо, що число є коренем рівняння . Знайдіть значення виразу . Відповідь обґрунтувати.

3. Нехай – сума всіх цифр десяткового запису натурального числа . Знайдіть усі такі натуральні числа , для яких . Відповідь обґрунтувати.

4 . На продовженні сторони вписаного чотирикутника за точку відмітили точку так, що і . Відомо, що . Знайдіть довжину сторони .

5. Доведіть, що для всіх натуральних справджується нерівність

.

11 Клас

1. Скільки цілих значень задовольняють нерівність

?

2. Дано куб з ребром довжини 1. Розглянемо трикутник, одна з вершин якого є точка , а дві інших лежать на ребрах і . Знайдіть довжину третьої сторони цього трикутника, якщо відомо, що довжини сторін, які виходять із вершини , дорівнюють та .

3 . Знайдіть усі такі дійсні значення , при яких числа і обидва цілі.

4. В трикутнику з кутом при вершині , рівним , проведено бісектрису . Нехай – центр вписаного кола трикутника . Описане коло трикутника перетинає сторону в точці . Доведіть, що точки , , і лежать на одному колі.

5. Нехай , і – додатні дійсні числа. Доведіть нерівність

.

На виконання роботи виділяється 4 години.

Використання записників і калькулятора не дозволяється.

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2009 р.

Відповіді та вказівки

6 клас

6.1. Відповідь. Старший Миколка.

Із умови задачі випливає, що зараз Андрійкові років і місяців, а Миколці – років і місяців.

6.2. Відповідь. , , , .

Оскільки першою цифрою будь-якого натурального числа не може бути , то першою і п’ятою цифрою усіх наших чисел може бути лише . Після цього, легко знаходимо два розв’язки, коли посередині «симетричного» числа стоїть , і ще два розв’язки, коли посередині «симетричного» числа стоїть .

6.3. Відповідь. .

Крім прямокутників, які назвала Марійка, є ще чотири види прямокутників:

1) два прямокутники виду:

;

2) чотири прямокутники виду:

;

3) два прямокутники виду:

;

4) три прямокутники виду:

.

Всього: .

6.4. Відповідь. Для собаки Найди борщу не залишилося.

На стрільби поїхало роти, що в двічі більше, ніж залишилося. Якби вони отримали такі самі порції, як бійці за обідом, то вони з’їли б в двічі більше, ніж за обідом, тобто з’їли б половину приготовленого для них усіх борщу. Так як насправді їх порції були в півтора рази більшими, то вони з’їли приготовленого для них усіх борщу. А так як всього борщу була з’їдена за обідом, то для собаки Найди нічого не залишилося.

6.5. Відповідь. Виграє другий гравець.

Р озділимо дошку на дві рівні частини горизонтальною прямою (див. малюнок).

На кожний хід першого гравця другий повинен відповідати точно таким же ходом, але на другій частині дошки. Наприклад, якщо перший гравець поставив хрестик у лівий верхній кут, то другий гравець повинен поставити хрестик на лівій вертикалі у другу клітинку, рахуючи знизу.

Покажемо, що така стратегія другого гравця призведе його до виграшу. Після кожного ходу другого гравця картинка на обох половинках дошки буде однаковою. Якщо після ходу першого гравця в одній із половинок дошки не утворився квадрат , заповнений хрестиками, то і після ходу другого в другій половинці дошки такий квадрат утворитися не зможе.

Припустимо, що такий квадрат утворився після ходу другого гравця на «стику» двох половинок дошки. Але тоді такий же квадрат утворився раніше, після ходу першого гравця на одній із половинок дошки (див., наприклад, малюнок; останні ходи обох гравців позначені товстим і тонким пунктирним хрестиком відповідно).

7 клас

7.1. Відповідь. .

7.2. Відповідь. 18.

7.3. Відповідь. Так, зможе.

Наприклад, наступним чином. Пронумеруємо картки. Нехай Андрійко спочатку перевернув картки . Потім перевернув картки . І втретє перевернув картки . В результаті цих трьох дій картки , , , , і перевернулися лише один раз, тобто будуть повернутими чорною стороною догори, а картки , , , перевернулися три рази, тобто також будуть повернутими чорною стороною догори.

7.4. Відповідь. дерев.

Перший турист знаходився у русі годин, а другий турист годин. Тому другий турист відпочивав на годин більше першого туриста. Звідси випливає, що перший турист відпочивав рівно годин. Але час відпочинку першого туриста дорівнює добутку числа дерев (лип, їх більше ) на час відпочину біля одного дерева (за умовою це число годин також ціле). Так як – просте число, то це може бути, тільки якщо дерев було і турист відпочивав біля кожного дерева рівно .

7.5. Відповідь. Так, можна.

Дошка розміром клітинок розбивається на квадрати клітинки. Потім у кожному квадраті , через який проходить головна діагональ дошки, розташувати фігури так, як це вказано нижче на малюнку, а в усіх інших квадратах фігур не повинно бути. Тоді таке розташування фігур на дошці задовольняє усі умови задачі.

8 клас

8.1. Відповідь. .

Легко перевірити, що при умова задачі не виконується. Якщо , то коренем першого рівняння буде , а коренем другого рівняння буде . Отже, для виконання умови задачі необхідно і достатньо, щоб . Звідки . Звідки .

8.2. Відповідь.27.

8.3. Відповідь. карток були перевернутими три рази.

Так як усі картки на при кінці виявилися перевернутими, то кожну з них перевертали один або три рази. Всього було зроблено перевертань: із них були потрібні для того, щоб перевернути кожну картку один раз; інші перевертань – для того, щоб якісь із карток перевернути ще по два рази. Отже, карток були перевернуті по три рази.

8.4. Відповідь. .

Нехай – номер квартири Іванка. Тоді, номер його поверху дорівнює . Частка від ділення з остачею номера квартири на дорівнює номеру попереднього поверху, тому: , де . Звідки знаходимо: , тобто . Оскільки – натуральне число, то – ціле число. Оскільки , то . Звідки випливає, що , а .

8 .5. Нехай відрізки і перетинають відрізок у точках і відповідно (див. малюнок). Із умови випливає, що трикутники і рівні за стороною і двома прилеглими до неї кутами. З рівності цих трикутників випливає, що і . Тоді як суміжні до рівних кутів. Одержали, що в трикутнику кути при стороні рівні, тобто цей трикутник рівнобедрений. Звідки . Таким чином, , тобто трикутник – рівнобедрений, з основою . Тому, , що і треба було довести.

9 клас

9.1. Відповідь. .

9.2. Відповідь. .

З малюнку видно, що графік лінійної функції проходить через точки і . Це означає, що і . Звідки і . Отже, .

9.3. Припустимо, що вони обидва не помилилися. Тоді із результату Миколки випливає, що добуток другого числа на суму першого ділиться на , бо сума цифр числа дорівнює і ділиться на . Звідси випливає, що друге число ділиться на , або друге число ділиться на і сума цифр першого ділиться на , або сума цифр першого числа ділиться на . З ознаки подільності на випливає, що сума цифр другого числа ділиться на , або сума цифр другого числа ділиться на і перше число ділиться на , або перше число ділиться на . Звідси випливає, що результат Андрійка ділиться на , що неможливо, бо сума цифр числа дорівнює і на не ділиться.

9 .4. Нехай – середина . Тоді і трикутники і рівні за двома сторонами і кутом між ними. З рівності цих трикутників випливає, що і . Із останньої рівності випливає, що (як зовнішні до рівних кутів). Тоді трикутники і рівні за двома сторонами і кутом між ними. Отже, , що і треба було довести.

9.5. Припустимо, що потрібне розташування доміно вдалося здійснити. Якщо в першій вертикалі доміно займають непарне число клітинок, то хоча б одна клітинка першої вертикалі покрита горизонтальним доміно. Аналогічно хоча б одна клітинка третьої, п’ятої, сьомої, …, -тої вертикалі покрита хоча б одним горизонтальним доміно. Отже, у нас є не менше горизонтальних доміно і вертикальних доміно. Тому, всього на дошці є принаймні доміно, що суперечить умові задачі (адже нас просять здійснити потрібне розташування доміно за допомогою -ти доміно.