Поэтому .

Т.е. при все рассматриваемые суммы ограничены. В нашем случае .

.

Таким образом, ряд сходится по признаку Дирихле.

Приближенное вычисление суммы ряда

Вычислить сумму знакочередующегося числового ряда , с заданной точностью .

1. Если  и , то для остатка знакочередующегося ряда   справедливо неравенство , т.е. остаток ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда.

2. Если , то и . Поэтому, решая неравенство , находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы ряда с заданной точностью .

3. Непосредственно вычисляем -ю частичную сумму ряда

.

Задача 9. Вычислить сумму ряда с точностью .

, .

Сумма ряда ,

где  – остаток ряда. По условию задачи . Для знакочередующихся рядов остаток ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда, поэтому

.

Последнее неравенство выполняется при , значит достаточно оставить только первые пять членов ряда:

Область сходимости функционального ряда

Найти область сходимости функционального ряда .

При каждом допустимом значении  рассматриваем данный ряд как числовой и исследуем его сходимость, применяя теоремы сравнения, признаки Коши, Даламбера и др. Совокупность таких значений  образует область сходимости ряда.

Алгоритм исследования:

1. Находим  по одной из формул (если предел существует) или .

2.  Находим область сходимости, решая неравенство .

3. Исследуем поведение ряда в граничных точках области сходимости.

11. Найти область сходимости функционального ряда.

Пример 1. .

Решение: Воспользуемся признаком Даламбера .

Значит, признак Даламбера не работает. Воспользуемся сходством с гармоническим рядом. Имеем сходимость при , расходимость при .

Пример 2. .

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

,

, значит, .

Исследуем сходимость на концах интервала:

- расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

Область сходимости: .

Область сходимости степенного ряда

Найти область сходимости степенного ряда ,

Где  – целое число не равное нулю.

1. Находим  по одной из формул: или .

 

где  – общий член ряда. По признакам Даламбера или Коши ряд сходится при  и расходится при . Для определения области сходимости, решаем неравенство .

2. Исследуем поведение степенного ряда в граничных точках.

Можно найти радиус сходимости степенного ряда по формуле , а затем область сходимости из условия .

12. Найти область сходимости степенного ряда.

Пример 1.

.

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

.

Решая последнее неравенство, получим , или .

Исследуем сходимость на концах интервала: .

При подстановке в исходный ряд имеем  – ряд расходится (гармонический ряд).

Ответ: область сходимости: .

Пример 2.

.

Воспользуемся признаком Даламбера:

Решая последнее неравенство, получим , или

Исследуем поведение ряда на границах: при подстановке в исходный ряд получим расходящийся гармонический ряд .

Область сходимости: .

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда

- радиус сходимости.

Область сходимости

Исследуем сходимость на концах интервала

* расходится, т.к.

* расходится, т.к.

Область сходимости .