5. Понятие момента инерции тела и радиуса инерции тела
Момент
инерции
тела или механической системы (МС),
состоящей из
материальных точек, относительно оси,
например,
– это скалярная величина.
где
– расстояние от
-ой
точки до оси
(рис. 62).
Рис. 62. Момент инерции механической системы относительно оси
Радиус инерции тела, например, относительно оси – это величина ρz, определяемая из выражения
Смысл
– это расстояние от оси
до той точки, где сосредоточена вся
масса системы
Моменты инерции некоторых однородных тел относительно центральных осей
1. Тонкое кольцо радиуса R (рис. 63).
Рис. 63. Момент инерции тонкого кольца
По определению:
2. Диск (цилиндр) радиуса R (рис. 64).
Рис. 64. Момент инерции диска (цилиндра)
3.
Стержень длиной
и массой
(рис. 65).
Рис. 65. Момент инерции стержня
или,
если задано
то
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ,
ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ЦЕНТРАЛЬНОЙ
(ФОРМУЛА ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА)
Рис. 66. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей
– центр масс;
– центральная ось;
– параллельная ось (рис. 66).
6. Понятие количества движения материальной точки или механической системы (мс)
1. Для материальной точки – это векторная величина
где
– по касательной к траектории.
2. Для МС – это векторная величина: главный вектор количеств движения всех точек.
где
– скорость центра масс.
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ИЛИ МС
1. Для материальной точки:
при
после разделения переменных
и интегрирования получаем:
где
– элементарный импульс силы.
После
интегрирования от 0
до
получается импульс
силы
:
2. Для мс из точек:
После интегрирования от 0 до
7. ПОНЯТИЕ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Относительно центра (рис. 67).
Рис. 67. Момент количества движения точки относительно центра
– векторное произведение, где:
– функция
момента;
– аргумент
функции;
– масса точки.
Абсолютная величина
–
площадь
прямоугольника со сторонами
и
.
Относительно оси (рис. 67).
8. ПОНЯТИЕ ГЛАВНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ (КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА)
1. Относительно центра.
– имя
функции,
– аргумент.
2. Кинетический момент при вращении мс (тела) вокруг оси.
Для -ой точки МС:
где
– расстояние от точки до оси
.
Тогда для отдельной -ой точки будет:
где
–
момент;
– количество
движения;
– плечо момента.
Известно, что по определению
– момент инерции -ой точки относительно оси .
Тогда
Для всей МС или тела кинетический момент будет:
9. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Относительно центра.
После дифференцирования по времени получается:
Здесь
так как и параллельны, т.е. не образуют прямоугольника;
Тогда остаётся
и в итоге получается:
– производная по времени от момента количества движения точки относительно центра равна моменту действующей на точку силы.
Относительно оси.
10. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Относительно центра.
Ранее было получено выражение для кинетического момента
Тогда изменение этой величины будет
– сумма моментов внешних сил относительно центра .
Относительно оси.
Тогда
–
это
дифференциальное уравнение вращательного
движения твёрдого тела вокруг оси
.
Так как
– угловое ускорение, то
Последнее
равенство показывает, что при данном
чем больше момент инерции тела
,
тем меньше угловое ускорение
,
и наоборот.
Следовательно, момент инерции тела действительно играет при вращении ту же роль, что и масса при поступательном движении, т.е. является мерой инертности тела при вращении.
При этом:
если
, то
и
,
тело вращается равномерно;если
,
то
,
,
тело вращается равнопеременно.
11. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ.
УСЛОВИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЭТОГО ЗАКОНА
Условия выполнения закона:
если тело абсолютно твердое (не меняет размеров), то
и, как следствие,
;если тело деформируемое или механическая система (МС) меняет размеры (изменяются расстояния между телами МС), то при увеличении размеров увеличивается, а
уменьшается, и наоборот.
12. ПОНЯТИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Кинетическая энергия материальной точки – это скалярная величина
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки (рис. 68)
Рис. 68. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
где
– сумма
сил,
–
касательная,
где
.
или после разделения переменных
где
– сумма элементарных работ сил
.
Внося
и
под знак дифференциала, получаем
– это дифференциальная форма выражения данной теоремы.
После
интегрирования в пределах движения от
положения
до положения
получается
