9. Понятие конечного элемента.

Метод конечных элементов (МКЭ) позволяет приближённо численно решать широкий спектр физических проблем, которые математически формулируются в виде системы дифференциальных уравнений или в вариационной постановке. Этот метод можно использовать для анализа напряжённо деформированного состояния конструкций, для термического анализа, для решения гидро- газодинамических задач и задач электродинамики. Могут решаться и связанные задачи. Исходным объектом для применения МКЭ является материальное тело (в общем случае - область, занимаемая сплошной средой или полем), которое разбивается на части - конечные элементы (КЭ). В результате разбивки создаётся сетка из границ элементов. Точки пересечения этих границ образуют узлы. На границах и внутри элементов могут быть созданы дополнительные узловые точки. Сочетание из всех конечных элементов и узлов является основной конечно-элементной моделью деформируемого тела. Выбор типа, формы и размера конечного элемента зависит от формы тела и вида напряжённо-деформированного состояния. Все элементы и узлы нумеруются. Нумерация узлов бывает общей (глобальной) для всей конечно-элементной модели и местной (локальной) внутри элементов. Нумерацию элементов и общую нумерацию узлов желательно производить так, чтобы трудоёмкость вычислений была наименьшей. В задачах деформирования, прежде всего, нужно указать упругие свойства - модуль упругости и коэффициент Пуассона. Если предполагается пластическое течение, то необходимо задать истинные диаграммы деформирования, которые аппроксимируются билинейными или мультилинейными кривыми. Когда тело неравномерно нагрето, указанные выше механические свойства требуется задать для ряда температур. Для динамических задач необходимо определить плотность материала и, возможно, коэффициент вязкого демпфирования.

10. Уравнения жесткости конечного элемента.

Рассмотрим сначала линейно-упругую задачу деформирования твёрдого тела при малых деформациях и малых перемещениях. Принимается, что конечные элементы взаимодействуют только через общие узлы. Внутренние распределённые силы, действующие по границам элемента е, заменяются статически эквивалентными узловыми силами, составляющими вектор узловых сил элемента {F}e. Внешние распределённые массовые и поверхностные силы, действующие на конечный элемент, приводятся к статически или энергетически эквивалентным узловым силам, образующим соответственно векторы {Р}ge и {Р}qe. К эквивалентным узловым силам приводятся также силы инерции (как массовые силы), начальные деформации, в том числе температурные деформации (вектор {Р}ε⁰/е), начальные напряжения {Р}σ⁰/е. Матричное уравнение жёсткости элемента имеет вид

г де [K]e-матрица жесткости элемента, состоящая из коэффициентов жесткости, {U}e -вектор узловых перемещений элемента.

Однако в вычислительном процессе МКЭ вначале определяют матрицы элементов , а затем из них собирают общие матрицы системы уравнений равновесия модели по стандартным правилам суммирования компонентов матриц с одинаковыми индексами. Если задача деформирования динамическая, то в уравнение (4) добавляются узловые силы, эквивалентные массовым силам инерции, зависящим от ускорения. Демпфирование учитывается эквивалентными объёмными силами вязкого сопротивления, пропорциональными скорости.