2.4.2 Теорема Котельникова – Шеннона

Полученные результаты легко распространить на идеальные низкочастотные сигналы более общего вида со спектральной плотностью в полосе частот, ограниченной .

Математическая модель подобного сигнала примет вид

(2.7)

Сигналы (2.74) при выполнении (2.73) можно использовать для построения ортонормированного базиса

Норма каждого элемента базиса удовлетворяет условию , в том числе при , т.е.

откуда .

Т.о. ортонормированный базис в линейном пространстве сигналов с ограниченным спектром

(2.8)

Ряд Котельникова – Шеннона

Произвольный сигнал со спектром, ограниченным сверху , можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису (2.8)

(2.9)

где коэффициенты ряда являются скалярными произведениями исследуемого сигнала и соответствующей базисной функции

(2.10)

Для вычисления коэффициентов вновь воспользуемся формулой Рэлея . Спектральная плотность базисной функции равна

Тогда (2.10) запишется в виде

(2.11)

Выражение в круглых скобках (2.11) является мгновенным значением сигнала в отсчетной точке

Тогда

(2.12)

а ряд Котельникова – Шеннона примет вид

(2.13)

Теорема Котельникова – Шеннона.

Произвольный сигнал, спектр которого ограничен сверху частотой , может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени .

На практике при использовании теоремы возникают погрешности представления рядом (2.13), а точное разложение сигнала с ограниченным спектром на конечном отрезке времени Т заменяется приближенным

(2.14)

где - целая часть отношения длительности сигнала к минимальному интервалу разбиения , .

Пример. Прямоугольный видеоимпульс с длительностью и амплитудой (рис.2.32) является сигналом с неограниченным спектром, который убывает достаточно быстро ( ).

Рис.2.32

Случай 1º. Производится выборка двумя отсчетами, в начале и в конце импульса ( ). Минимальный интервал разбиения , поэтому учитываются частоты вплоть до , следовательно

Число отсчетных функций – две, их амплитуды

.

Случай 2º. Три равностоящих отсчета ( ). Здесь учитываются частоты вплоть до , т.к.

.

Очевидно, что погрешность будет тем больше, чем меньше число отсчетов используется для восстановления исходного сигнала.

2.4.3 Оценка ошибки, возникающей при аппроксимации произвольного сигнала рядом Котельникова

Качественную оценку ошибки можно провести, исходя из того, что функция вида обращается в ноль во всех отсчетных точках, кроме точек , в которых и совпадают и, следовательно, ошибка А наибольшего значения ошибка достигает в середине между отсчетными точками.

Если – произвольный сигнал с ограниченным спектром, то его можно представить суммой двух сигналов где – сигнал со спектром, ограниченным – сигнал ошибки, занимающий полосы , .

Спектры сигналов внутри полосы и вне этой полосы не перекрываются (рис.2.33), следовательно они ортогональны, т.е. их энергии (квадраты норм) складываются.

Рис.2.33 Спектральная плотность сигнала

В то же время - есть мера отклонения исходного сигнала от его аппроксимации рядом Котельникова .

Из обобщенной формулы Релея для случая следует

Величина известна как спектральная плотность энергии сигнала, следовательно, энергия сигнала ошибки равна

норма сигнала ошибки выражается формулой

(2.15)

а энергия произвольного сигнала имеет вид

(2.16)