2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Определение 1. Говорят, что в множестве Х введена операция сложения его элементов, если определено правило, по которому каждым двум элементам множества Х единственным образом сопоставляется некоторый элемент из Х. Говорят, что в множестве Х введена операция умножения его элементов на число, если определено правило, по которому каждому элементу множества Х и каждому числу единственным образом сопоставляется некоторый элемент из Х.

Определение 2. Множество Х с введенными в нем операциями сложения и умножения на число называется линейным пространством, если для любых элементов а, b, c из Х и любых чисел α, β выполнены следующие аксиомы Г. Вейля:

1)a b b a ;

2)a b c a b c;

3)существует элемент, обычно обозначаемый жирным нулем, такой что a 0 a ;

4)1 a a ;

5)a b a b ;

6)a a а ;

7)a a.

Элементы линейного пространства называются его векторами или точками.

Определение 3. Вектором, противоположным а, называется вектор

ются линейно зависимыми, если для них можно подобрать такие коэффици-

Векторы a1, a2 , , ak линейного пространства называются линейно независимыми, если для них равенство (1) выполнено тогда и только тогда,

24

Определение 7. Число n dim X называется размерностью линейного пространства Х, если существует набор a1, a2 , , an из п линейно независимых векторов пространства Х и любой набор, содержащий более п векторов из Х оказывается линейно зависим.

Определение 8. Базисом линейного пространства Х размерности п называется любой линейно независимый набор из п векторов пространства Х.

Определение 9. Известно, что любой вектор х линейного пространства

Теорема 1. При сложении векторов их координаты попарно складываются. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Пример 1. Упорядоченная совокупность п чисел называется п-мерным вектором или п-мерной точкой. Множество всех п-мерных векторов обозначается через Rn . Известно, что Rn является линейным пространством

1)x y 1,0, 3, 2 1, 2,3,0 2, 2,0, 2 ;

2)2 x 2 1,0, 3, 2 2,0,6, 4 ;

3)3x 2 y 3 1,0, 3, 2 2 1, 2,3,0 3,0, 9,6 2, 4,6,0 1, 4, 15,6 .

образуют базис пространства R3 . Действительно, равенство (1) для этих векторов, как показывают следующие выкладки

25

возможно только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации (1) равны нулю, следовательно, векторы a1 1,0,0 , a2 1,1,0 , , a3 1,1,1

линейно независимы и, поскольку их число равно размерности R3 , они об-

разуют базис R3 .

Заметим, что в одном и том же линейном пространстве существует бесконечно много базисов. Координаты одного и того же вектора в различных базисах, вообще говоря, различны.

Определение 10. Линейной оболочкой векторов a1, a2 , , ak называется

Определение 11. Подпространством линейного пространства Х называется подмножество K из Х, обладающее следующим свойством: если u,v K, то u v K при любых значениях числовых коэффициентов α, β.

Известно, что во-первых любое подпространство само является линейным пространством, а во-вторых линейная оболочка L a1, a2 , , ak векто-

ров a1, a2 , , ak линейного пространства Х является подпространством в Х. Теорема 2. Если векторы линейного пространства заданы своими ко-

ординатами в некотором базисе, то размерность их линейной оболочки равна рангу матрицы из их координат.

в некотором базисе и привести эту матрицу к трапециевидной форме. Число элементов на боковой стороне трапеции равно рангу матрицы, а значит и размерности линейной оболочки. Векторы, проходящие через боковую сторону трапеции, образуют базис линейной оболочки.

26

Пример 4. Найти размерность и базис линейной оболочки векторов

X L a,b, c, d , где a 0,1, 2,1 , b 2,1,0,1 , c 1,1,1,1 , d 1,1,0,0 .

Решение. Составляем матрицу из координат данных векторов и путем эквивалентных преобразований приводим ее к трапециевидной форме.

По правилу нахождения размерности и базиса линейной оболочки получаем: размерность dim X 3, векторы a, b, d образуют базис Х. Заметим, что для нахождения базиса линейной оболочки следует отслеживать соответствие столбцов матрицы исходным векторам.

27