5. Пересечение множеств

Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В, т.е. С = {6, 8}. Так получен­ное множество С называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, кото­рые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обо­значают А В. Таким образом, по оп­ределению, А В = {х|х А и х В).

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пере­сечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 7).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих эле­ментов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А В = Ø.

Выясним, как находить пересечение множеств в конкрет­ных случаях.

Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А В, достаточно перечислить элементы, которые од­новременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.

А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов?

Из определения пересечения следует, что характеристиче­ское свойство множества А В составляется из характеристи­ческих свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Найдем, например, пересечение множества А - четных натуральных чисел и множества В - двузначных чисел. Ха­рактеристическое свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а характеристическое свой­ство элементов множества В - «быть двузначным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четными нату­ральными и двузначными числами». Таким образом, множе­ство А В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 А В, поскольку число 24 четное и двузначное.

Рассмотрим теперь случай, когда находят пересечение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А В - В и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А В будет таким, как и свойство эле­ментов множества В.

6. Объединение множеств

Пусть даны два множества: А = {2,4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество D, в которое включим элементы, принад­лежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множеству В. D = {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Так полученное множе­ство D называют объединением множеств А я В.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, кото­рые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают А В. Таким образом, по определению, А В = {x|x А или х В}.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объе­динение данных множеств изобразит­ся заштрихованной областью (рис. 8).

Выясним, как находить объедине­ние множеств в конкретных случаях.

Если элементы множеств А и В пе­речислены, то, чтобы найти А В,

достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами их элементов? Из определения объединения следу­ет, что характеристическое свойство элементов множества А В составляется из характеристических свойств элементов множеств А и В с помощью союза «или». Найдем, например, объединение множества А - четных натуральных чисел и множества В - двузначных чисел. Так как свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а свойство элементов множества В - «быть двузначным числом», то в объ­единение данных множеств войдут числа, характеристическое свойство которых - «быть четным натуральным или двузнач­ным числом». Такие числа образуют бесконечное множество, но сформулированное характеристическое свойство позволяет однозначно определять, содержится тот или иной элемент в объединении множеств А и В или не содержится. Например, в A B есть число 8, поскольку оно четное; есть число 36 - оно четное и двузначное.

Рассмотрим теперь случай, когда находят объединение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А В = А и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества A В будет таким, как и свойство элементов множества А.