6. Решение задач на движение
Движение является темой для самых разнообразных задач, в том числе и для задач на части. Но наряду с этим существует и самостоятельный тип задач на движение. Он объединяет такие задачи, которые решаются на основании зависимости между тремя величинами, характеризующими движение: скоростью, расстоянием и временем. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении.
Итак, основные объекты задач на движение: пройденный путь (s), скорость (v), время (t); основное отношение (зависимость) : 5 = vt.
Рассмотрим особенности решения основных видов задач на движение.
Задачи на встречное движение двух тел.
Пусть движение первого тела характеризуется величинами s1, v1, t1; движение второго – s2, v2, t2. Такое движение можно представить на схематическом чертеже (рис. 50):
Если два тела начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время, т.е. t1, = t2= tвстр.
Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называется скоростью сближения, т.е. Vсбл., = V1 + V2.
Все расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть подсчитано по формуле: s = Vc,k·tc,k.
З а д а ч а 1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого - 4 км/ч. Через сколько часов они встретились?
Р е ш е н и е. В задаче рассматривается движение навстречу
друг другу двух пешеходов. Один идет со скоростью 5 км/ч, а другой - 4 км/ч. Путь, который они должны пройти, 18 км. Требуется найти время, через которое они встретятся, начав движение одновременно. Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными - схематический чертеж (рис. 51) или таблица.
Поиск плана решения в данном случае удобно вести, рассуждая от данных к вопросу. Так как скорости пешеходов известны, можно найти их скорость сближения. Зная скорость сближения пешеходов и все расстояние, которое им надо пройти, можем найти время, через которое пешеходы встретятся. Запишем решение задачи по действиям:
1) 5 + 4 = 9 (км/ч)
2)18:9 = 2(4)
Таким образом, пешеходы встретятся через 2 ч от начала движения.
З а д а ч а 2. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, и через 5 ч встретились. Один их них ехал быстрее другого на 16 км/ч. Определите скорости автомобилей.
Р е ш е н и е. В задаче рассматривается движение навстречу друг другу двух автомобилей. Известно, что движение они начали одновременно и встретились через 5 часов. Скорости автомобилей различны - один ехал быстрее другого на 16 км/ч. Путь, который проехали автомобили - 600 км. Требуется определить скорости движения.
Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть различными: схематический чертеж (рис. 52) или таблица.
Поиск плана решения задачи будем вести, рассуждая от данных к вопросу. Так как известно все расстояние и время встречи, можно найти скорость сближения автомобилей. Затем, зная, что скорость одного на 16 км/ч больше скорости другого, можно найти скорости автомобилей.
При этом можно воспользоваться вспомогательной моделью, приведенной на рисунке 53.
Запишем решение задачи по действиям с пояснением:
1) 600:5 = 120 (км/ч) - это скорость сближения автомобилей.
2) 120-16 =104 (км/ч) - это скорость сближения, если бы скорости автомобилей были одинаковыми и равными скорости первого.
3) 104:2 = 52 (км/ч) - скорость первого автомобиля.
4) 52+16 = 68 (км/ч) - скорость второго автомобиля.
Есть и другие арифметические способы решения данной задачи, вот два из них.
1)600:5= 120 (км/ч) 1) 16 5 = 80 (км)
2) 120 +16 = 136 9 (км/ч) 2) 600-80 = 520 (км)
3) 136:2 = 68 (км/ч) 3) 520:2 = 260 (км)
4) 68-16 = 52 (км/ч) 4) 260:5 = 52 (км/ч)
5) 52+ 16 = 68 (км/ч)
Дайте устные пояснения к выполненным действиям и попытайтесь найти другие способы решения данной задачи.
Задачи на движение двух тел в одном направлении
Среди них следует различать два типа задач:
1) движение начинается одновременно из разных пунктов;
2) движение начинается в разное время из одного пункта.
Рассмотрим случай, когда движение двух тел начинается одновременно в одном направлении из разных пунктов, лежащих на одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется величинами s1, v1, t1 а движение второго – s2, v2, t2.
Такое движение можно представить на схематическом чертеже (рис. 54):
Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то v1> v2. Кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстояние v1- v2. Это расстояние называют скоростью сближения: vсбл = v1- v2.
Расстояние s, представляющее длину отрезка АВ, находят по формулам:
s = s1 - s2 и s = vсбл · tвстр.
З а д а ч а 3. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость одного - 40 км/ч, другого - 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?
Р е ш е н и е. В задаче рассматривается движение двух мотоциклистов. Выехали они одновременно из разных пунктов, находящихся на расстоянии 30 км. Скорость одного 40 км/ч, другого - 50 км/ч. Требуется узнать, через сколько часов второй мотоциклист догонит первого.
Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными: схематический чертеж (рис. 55) или таблица.
Сравнение скоростей мотоциклистов говорит о том, что в течение часа первый мотоциклист приближается ко второму на 10 км. Расстояние, которое ему надо пройти до встречи со вторым, на 30 км больше, чем расстояние, которое за такое же время пройдет второй мотоциклист. Поэтому первому потребуется столько времени, сколько раз 10 км укладываются в 30 км. Запишем решение задачи по действиям:
1) 50 - 40 = 10 (км/ч) - скорость сближения мотоциклистов
2) 30:10 = 3 (ч) - за это время первый мотоциклист догонит второго.
Наглядно этот процесс представлен на рисунке 56, где единичный отрезок изображает расстояние, равное 10 км.
З а д а ч а 4. Всадник выезжает из пункта А и едет со скоростью 12 км/ч; в это же время из пункта В, отстоящего от А на 24 км, вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Оба движутся в одном направлении. На каком расстоянии от В всадник догонит пешехода?
Р е ш е н и е. В задаче рассматривается движение в одном направлении всадника и пешехода. Движение началось одновременно из разных пунктов, расстояние между которыми 24км, и с разной скоростью: у всадника - 12 км/ч, у пешехода - 4 км/ч. Требуется узнать расстояние от пункта, из которого вышел пешеход, до момента встречи всадника и пешехода.
Вспомогательные модели: схематический чертеж (рис. 57) или таблица.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти время, которое будет находиться в пути пешеход или всадник,- время их движения до встречи одинаковое. Как найти это время, подробно рассказано в предыдущей задаче. Поэтому, чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить следующие действия:
1) 12- 4 = 8 (км/ч) - скорость сближения всадника и пешехода.
2)24:8 = 3(ч)~ время, через которое всадник догонит пешехода
3) 4-3 = 12 (км) - расстояние от В, на котором всадник догонит пешехода.
З а д а ч а 5: В 7 ч из Москвы со скоростью 60 км/ч вышел поезд. В 13 ч следующего дня в том же направлении вылетел самолет со скоростью 780 км/ч. Через какое время самолет догонит поезд?
Р е ш е н и е. В данной задаче рассматривается движение поезда и самолета в одном направлении из одного пункта, но начинается оно в разное время. Известны скорости поезда и самолета, а также время начала их движения. Требуется найти время, через которое самолет догонит поезд.
Из условия задачи следует, что к моменту вылета самолета поезд прошел определенное расстояние. И если его найти, то данная задача становится аналогичной задаче 3, рассмотренной выше.
Чтобы найти расстояние, которое прошел поезд до момента вылета самолета, надо подсчитать, сколько времени находился в пути поезд. Умножив время на скорость поезда, получим расстояние, пройденное поездом до момента вылета самолета. А дальше как в задаче 3.
1) 24 - 7 = 17 (ч) - столько времени был в пути поезд в тот день, когда он вышел из Москвы.
2) 17 + 13 = 30 (ч) - столько времени был в пути поезд до момента вылета самолета.
3) 60-30 = 1800 (км) - путь, пройденный поездом до момента вылета самолета.
4) 780 - 60 = 720 (км/ч) - скорость сближения самолета и поезда.
5) 1800:720 = 2—(ч)- время, через которое самолет догонит поезд.
Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях
В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки: а) одновременно; б) в разное время. А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время.
Общим теоретическим положением для них будет следующее: vудал, = v1 + v2, где v1, и v2соответственно скорости первого и второго тел, а vудал - это скорость удаления, т.е. расстояние, на которое удаляются друг от друга движущиеся тела за единицу времени.
З а д а ч а 6. Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 часа после выхода?
Р е ш е н и е. В задаче рассматривается движение двух поездов. Они выходят одновременно от одной станции и идут в противоположных направлениях. Известны скорости поездов (60 км/ч и 70 км/ч) и время их движения (3 ч). Требуется найти расстояние, на котором они будут находиться друг от друга через указанное время.
Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть такими: схематический чертеж (рис. 58) или таблица.
Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти расстояния, пройденные первым и вторым поездом за 3 ч, и полученные результаты сложить:
1)60·3= 180 (км)
2) 70·3 = 210 (км)
3)180+210 = 390 (км)
Можно решить эту задачу другим способом, воспользовавшись понятием скорости удаления:
1) 60 + 70 = 130 (км/ч) - скорость удаления поездов
2) 130· 3 = 390 (км) - расстояние между поездами через 3 ч. Задача 7. От станции А отправился поезд со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч с этой же станции в противоположном направлении вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч после выхода второго поезда?
Р е ш е н и е. Эта задача отличается от задачи 6 тем, что движение поездов начинается в разное время. Вспомогательная модель задачи представлена на рис. 59.
Решить ее можно двумя арифметическими способами.