6. Многоугольники
Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие многоугольника. Определяется оно через понятие ломаной.
Ломаной A1A2A3... Аn называется фигура, которая состоит из точек A1A2A3... Аn и соединяющих их отрезков А1,А2, А2А3, ... , An-1,An. Точки A1A2A3... Аn называются вершинами ломаной, а отрезки А1А2,А2А3,..., Аn-1, Аn - ее звеньями.
Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой. Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой. О ломаных, изображенных на рисунке 9, можно сказать, что: А1А2А3А4А5А6 - простая; A1A2A3 - простая замкнутая; A1A2A3A4 - замкнутая ломаная, но она не является простой, так как имеет самопересечение.
Рис.9
Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.
Известно, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья - его сторонами. Отрезки, соединяющие несоседние вершины, называются диагоналями.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника (или плоским многоугольником).
Различают выпуклые и невыпуклые многоугольники.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Правильным является равносторонний треугольник, правильным четырехугольником - квадрат.
Свойства правильных многоугольников часто используются в архитектуре и строительстве для украшения зданий. Примером может быть рисунок паркета, составленного из правильных шестиугольников (рис. 10).
Рис.10
Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образуемый его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Известно, что сумма углов выпуклого n -угольника равна 1800 (n -2).
7. Окружность
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром.
Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной (рис. 11).
Рис.11
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. На рисунке 12а штриховкой отмечен центральный угол, которому соответствует дуга А В.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность. Угол ВАС на рисунке 12б вписан в окружность. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той дуге, которая не содержит точку А, называется центральным, соответствующим данному вписанному углу.
Рис.12
Угол, вписанный в окружность, обладает следующим свойством: он равен половине соответствующего центрального угла.
Из этого утверждения следует, что вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В, принадлежащие окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 13).
Рис.13
В частности, углы, опирающиеся на диаметр, - прямые.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Чтобы описать окружность около треугольника, надо найти ее центр. Правило его нахождения обосновывается следующей теоремой:
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к его сторонам, проведенных через середины этих сторон (рис. 14).
Рис.14
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Правило нахождения центра такой окружности обосновывается в следующей теоремой:
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 15).
Рис.15
Из последних двух теорем следует, что биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности, а серединные перпендикуляры - в центре описанной. Можно доказать, что медианы треугольника, так же как и его высоты, пересекаются в одной точке. Точку пересечения медиан называют центром тяжести треугольника, а точку пересечения высот - ортоцентром.
Таким образом, во всяком треугольнике существует четыре точки, их называют замечательными: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей и ортоцентр, - в которых пересекаются соответствующие элементы этого треугольника- медианы, биссектрисы, серединные перпендикуляры и высоты.
В связи с тем что во всякий треугольник можно вписать окружность и около всякого треугольника можно описать окружность, возникает вопрос: обладают ли аналогичным свойством четырехугольники? Оказывается, для того чтобы в четырехугольник можно было вписать или около него описать окружность, необходимо чтобы он был правильным.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность, причем центры вписанной и описанной окружностей совпадают.