5. Площадь криволинейной фигуры и ее измерение
Пусть F - некоторая криволинейная фигура. Как найти ее площадь? Оказывается это можно сделать с помощью площадей многоугольных фигур. Мы рассмотрим способ, который используется в начальном обучении.
Если многоугольная фигура Q содержит фигуру F, а многоугольная фигура Р содержится в фигуре F, т.е. Q F P (рис. 5), то S(P) ≤ S(F) ≤ S(Q) (1). Если разность площадей фигур Q и Р стремится к нулю, то, существует единственное число S(F), удовлетворяющее неравенству (1), его и считают площадью фигуры F.
Рис.5
Этим положением пользуются в школьном
курсе геометрии, когда выводят формулу
площади круга: S(F) =
nr2,
где r - радиус круга.
Этим положением воспользуемся и мы для обоснования приема измерения площади фигуры при помощи палетки.
Палетка- это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.
Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Р; квадраты, имеющие с фигурой F общие точки, образуют многоугольную фигуру Q (рис. 6).
Рис.6
Площади S(P) и S(Q) находят простым подсчетом
квадратов. За приближенное значение
площади фигуры F принимается среднее
арифметическое найденных площадей:
S(F)=
В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.
Нетрудно обосновать эти действия. Пусть m - число квадратов, которые поместились внутри фигуры F, а n -число квадратов, через которые проходит контур фигуры F.
Тогда S(P) = m,
a S(Q) = m + n. И
значит, S(F) =
Палетка позволяет измерить площадь фигуры F с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять палетку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: наложить одну и ту же палетку по-разному на фигуру и найти несколько приближенных значений площади фигуры F. Их среднее арифметическое может быть лучшим приближением к численному значению площади фигуры F.