Двойственность кванторов.

Не для всех x истина. Значит, что существует x, где ложь, а не истина.

Не существует x, где истина. Значит, для всех x ложь, а не истина.

Определение формулы.

Определение 4.

Термом будем называть любую предметную переменную или константу. Под термом будем понимать функциональную букву – терм.

Определение 5.

Атомарной формулой (атомом) будем называть любое переменное высказывание (из числа логических высказываний) или предикат. Предикат – атомарная формула.

Определение 5.

Любой атом – формула.

Если A и B – формулы, то тоже формулы.

Других формул нет.

Таким образом, вся логика высказываний входит в логику предикатов. Логика предикатов занимается теорией вывода.

Определение 6.

Интерпретацией будем называть систему, состоящую из непустого множества D, называемого областью интерпретации (универсумом), и некоторого соответствия предметной букве.

n-местное отношение, т. е. .

Каждой n-местную функцию, т. е. .

Каждой константе любой предикат из D .

Замечание.

В данной интерпретации любая формула без свободных переменных есть высказывание. А любая формула со свободными переменными – отношение, которое может быть или истинным или ложным.

Лекция № 3. Булевы функции (фал).

Три типа формул:

1. Общезначимая ППФ – истинна при любой интерпретации.

2. Противоречивая ППФ – ложна при любой интерпретации.

3. Остальные (выполнимые) истинны хотя бы при одной интерпретации.

Пример.

1. ╞

«Из общего следует частное».

Докажем от противного.

Имеем область интерпретации D, где принимает значение «ложь».

╞ – ложь.

Для всех x истинна, но , где – ложь. D быть не может. 

2. ╞

«Из частного следует тоже частное».

Докажем от противного.

Имеем область интерпретации D, где принимает значение «ложь».

╞ – ложь.

Возможно только, если x = y. Противоречие. 

Теорема 1.

а) ╞

б) ╞

Вычисление значений формул для данного присвоения значений переменных состоит из вычислений значений логической функцией, поставленной в соответствие этой A, а значение всей формулы совпадает с вычислениями из примеров 1 и 2.

Следствие.

╞, то ╞.

╞

(из частного не следует общее).

Теорема 2.

Пусть x – некоторая предметная переменная и B – формула, не имеющая свободного вхождения x. A(x) – формула.

а) ╞, то ╞

б) ╞, то ╞

а) Пусть для некоторой D, где B принимает значение ложь. По определению импликации (понятно). Пусть имеется D, где B принимает значение истины. А если A(x) истина, то тоже истина .

б) Доказывается аналогично.

Следствие.

╞, то ╞



1. ╞ 1 аксиома

2. ╞

3. ╞ MP(1,2)

Применяя теорему 2а можем на А(x) навесить квантор общности.

4. ╞

5. ╞, где ╞

6. ╞ MP(4,5)



Логика предикатов как формальная система.

Термы.

– счётное множество предметных переменных.

– непустое конечное или счётное множество предметных символов.

– пустое, конечное или счётное множество функциональных символов

– пустое, конечное или счётное множество предметных констант.

Логические связки:

Кванторы:

Вспомогательные символы:

Других термов нет.

Правила построения ППФ.

1. Любая атомарная ППФ­ – суть атом (атомарная формула) ППФ, переменная логики высказывания или предикат.

2. Если А и B – ППФ и x ­– предметная переменная, то – ППФ.

3. Других правил нет.

Система аксиом.

11 аксиом.

12.

13.

1. Все аксиомы суть теоремы (выводимы).

2. Правило подстановки, но имеем дело с такой подстановкой термов вместо в формулу A. После подстановки будет свободна для этих термов.

3. Правило обобщения (Gen). Если выводимо ├, где B не имеет свободного вхождения x, то ├.

4. Правило конкретизации (Ex). Если выводимо ├, где B не имеет свободного вхождения x, то ├.

5. Modus ponens (MP).

6. Если A – теорема, имеющая квантор или , то теоремой будет A’, полученная из A путём замены одной связанной переменной буквами отличными от букв связанных переменных.

7. Других нет.

Будем считать, что некоторая ППФ ├ (далее для краткости ├).

1. ├

2. ├, то ├

3. ├ и ├, то ├

4. ├, если и не имеют свободного вхождения x, то ├

5. ├, то ├

6. ├, то ├, получено из B путём подстановки вместо свободных вхождений в B переменных.

7. ├, то ├, получено из B переименованием связанных переменных.

Теорема Дедукции.

Если ├, то ├,

├

1. ├ 9 аксиома

2. ├ подстановка

3. ├ MP

4. ├ т. дедукции

5. ├ т. дедукции

6. ├ силлогизм(2,5)

Правило соединения посылок:

├

├

1. ├

2. ├ 3 аксиома

3. ├

4. ├ MP(1,2)

5. ├ условие 1

6. ├ MP(4,5)

7. ├ MP(1,3)

8. ├ MP(6,7)

9. ├

├

1. ├ 5 аксиома

2. ├ подстановка

3. ├

4. ├ MP(2,3)

5. ├ подстановка

6. ├

7. ├ силлогизм(5,6)

8. ├ подстановка

9. ├ следствие теоремы дедукции

(правило перестановки мест посылок)

├ ├ ├ ├ ├ ├ ├ ├ ├ ├ ├ ├ ├

11 | Страница