Двойной интеграл

В области D плоскости Oxy определена непрерывная функция z = f(x,y). Область D разобьем каким-то образом на n элементарных областей (частей) D₁, D₂, D₃, … , D_n . Через обозначим площадь D_k (k=1,2,…,n), через d_n – максимальный из диаметров областей D_k (под диаметром области будем понимать наибольшее расстояние между двумя ее точками) В каждой области D_k произвольно выберем по точке M_k (x_k, y_k) и составим интегральную сумму

Если f(x, y) ≥0, то слагаемое M_k (x_k, y_k) обозначает объем цилиндра с основанием D_k и высотой f(M_k), а V_n – объем объединения всех таких цилиндров, то есть, примерный объем тела с основанием D, ограниченного цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz и поверхностью z = f(x,y) (см.рисунок ниже: )

Теорема 17.2.2.(без доказательства)

Если функция z =f(x,y) непрерывна в D, то при условии и

последовательность имеет конченый предел

Определение 17.2. 6

Предел V называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается или .

Из построения следует, что

Выражает площадь фигуры (области) D, а если f(x,y)≥0, то двойной интеграл

выражает объем цилиндрического тела, «крыша» которого – поверхность z=f(x,y), а основание – область D.

Определение 17.2.7

Область D называется правильной относительно оси Oy (Ox), если каждая прямая, параллельная оси Oy (ox) и проходящая через внутреннюю точку, пересекает ее границу только в двух точках.

Нижняя (левая) из этих точек называется точкой входа в область, а нижняя (правая) – точкой выхода. Область, правильную относительно обеих осей (направлений), называется правильной областью.

Такую область можно задать с помощью неравенств:

Для области, правильной относительно Oy

Для области, правильной относительно Oх

Определение 17.2.8

Интегралы, написанные справа от первого знака равенства, называются повторными. Двойной интеграл сводится таким образом к повторным. При вычислении внутреннего интеграла одна из переменных, дифференциал которой отсутствует, считается (временно) постоянной. В частности, если f(x,y) представима в виде g(x) ∙ h(x,y), то

Аналогично выносится множитель, зависящий только от у.

Примеры 17.2.2.

1. Привести к повторному интеграл

Интеграл по области D, ограниченной кривыми

Для области D можно записать:

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

4. Вычислить интеграл где область D ограничена линиями

D =

Полярные координаты и интеграл Эйлера-Пуассона

Отступление. Полярные координаты

Основная идея метода координат состоит в том, что положение точки на плоскости однозначно определяется с помощью двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат. Наиболее важной после прямоугольной системы является полярная система координат.

Возьмем на плоскости точку О, которую назовем полюсом. Проведем из полюса О направленную полупрямую Ох, называемую полярной осью (см рис ниже: )

Пусть М – произвольная точка плоскости. Соединим точку М с полюсом отрезком ОМ. Длина отрезка ОМ = ρ называется полярным радиусом точки М, а угол φ = углу xOM, отсчитываемый от полярной оси к отрезку ОМ против движения часовой стрелки, - полярным углом. Полярный радиус ρ и полярный угол φ и составляют полярные координаты

Точка М с полярными координатами ρ и φ записывается М(ρ, φ), причем на первом месте идет полярный радиус, а на втором – полярный угол.

Замечание Полярный радиус обозначается также буквой r (от слова радиус)

Переход от полярных координат к прямоугольным и обратно осуществляется с помощью следующих формул:

При этом

Соответственно, двойной интеграл в полярных координатах имеет вид:

С помощью полярных координат можно найти значение крайне важного в теории вероятностей интеграла Эйлера-Пуассона

То есть мы хотим найти площадь подграфика функции на промежутке [0, +∞)

Рис. График функции Гаусса

Поскольку значение интеграла не зависит от обозначения переменной, можно этот интеграл записать в виде

Перемножая эти две формулы и учитывая, что произведение этих двух (однократных) интегралов можно рассматривать как двойной интеграл от подинтегральных функций, получим

Область D представляет собой область

Перейдя в последнем интеграле к полярным координатам, получим

Откуда, в силу положительности I,

17 Лекция 17. Функция нескольких переменных